भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

कूलॉम का नियम: F = k·|q₁q₂|/r²
बिंदु आवेश का क्षेत्र: E = k·|q|/r²
स्थिरांक: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
आवेश पर बल: F = q·E

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

लंबा सीधा तार: B = μ₀I/(2πr)
समतल कुंडली का केंद्र: B = μ₀NI/(2R)
लंबी परिनालिका: B = μ₀nI, n = N/L
स्थिरांक: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
तार पर बल: F = BIL·sin θ
आवेश पर बल: F = |q|vB·sin θ
वृत्तीय गति: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
समांतर तार: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
फ्लक्स: Φ = BA·cos θ
फैराडे का नियम: ε = −N·ΔΦ/Δt
गतिमान छड़: ε = BLv
जनित्र: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
प्रेरकत्व: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
अन्योन्य प्रेरकत्व: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

विधि

हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम

+2 µC का एक आवेश और −3 µC का एक आवेश 10 cm की दूरी पर हैं। बिंदु P उनके बीच की रेखा पर, पहले आवेश से 7.5 cm पर स्थित है। P पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण E ज्ञात कीजिए।

q₁ = +2 µCq₂ = −3 µCr₁ = 7.5 cmr₂ = 2.5 cm

E = N/C

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन

तीन धनात्मक बिंदु आवेश एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों पर हैं: q₃ = 3 µC समकोण वाले शीर्ष पर है, q₁ = 8 µC एक भुजा के अनुदिश उससे 3 cm दूर है और q₂ = 4 µC दूसरी भुजा के अनुदिश उससे 8 cm दूर है। q₃ पर नेट विद्युत बल का परिमाण F ज्ञात कीजिए।

q₁ = 8 µCq₂ = 4 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

R₂ से होकर धारा I_R2 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

प्रेरक 2.5 A की स्थिर धारा वहन करता है। t = 0 पर स्विच R से होकर लूप बंद करता है और स्रोत हटा दिया जाता है, इसलिए प्रेरक धारा R से होकर क्षय होती है। t = 1 ms पर R पर वोल्टता v_R ज्ञात कीजिए।

i(0) = 2.5 AR = 22 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_R = V

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

R₂ के आर-पार लगा स्विच लंबे समय से बंद है, इसलिए प्रेरक धारा स्थिर है। t = 0 पर स्विच खुलता है। t = 1 ms पर प्रेरक धारा i ज्ञात कीजिए।

V_s = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम

250 फेरों की कुंडली का क्षेत्रफल 150 cm² है। कुंडली को 0.3 T के एकसमान क्षेत्र में, जो उसके तल के लंबवत है, 250 ms में पलट दिया जाता है (180° घुमाया जाता है)। औसत प्रेरित emf ε ज्ञात करें।

N = 250A = 150 cm²B = 0.3 TΔt = 250 ms

ε = V

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन

एक लंबी वायु-क्रोड परिनालिका में 200 फेरे हैं, लंबाई 30 cm है और व्यास 2.5 cm है। जब उसमें 3 A धारा बहती है, तब उसके चुंबकीय क्षेत्र में संचित ऊर्जा W ज्ञात करें।

N = 200l = 30 cm⌀ = 2.5 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 10 V (rms), 200 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF

I = A

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ 10 V (rms), 60 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। परिपथ की अनुनादी आवृत्ति f₀ ज्ञात कीजिए।

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

3विलयन

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: E = 4.635 × 10⁷ N/C

कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।

हर आवेश का क्षेत्र

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0.075² = 3.196 × 10⁶ N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0.025² = 4.315 × 10⁷ N/C

दिशाएँ और योग

पहला क्षेत्र धनात्मक आवेश से दूर और दूसरा ऋणात्मक आवेश की ओर है: दोनों एक ही दिशा में हैं।

E = |3.196 × 10⁶ + 4.315 × 10⁷| = 4.635 × 10⁷ N/C

उत्तर

E = 4.635 × 10⁷ N/C

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: F = 240.3 N

q₃ पर हर बल

F₁ = k·8·3 × 10⁻¹²/0.03² = 239.7 N

F₂ = k·4·3 × 10⁻¹²/0.08² = 16.86 N

सदिश योग

F = √(239.7² + 16.86²) = 240.3 N

उत्तर

F = 240.3 N

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 1.993 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 12 + 20 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 6·32/(6+32) = 5.053 Ω

R_eq = R₁ + 5.053 = 10 + 5.053 = 15.05 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 30/15.05 = 1.993 A

उत्तर

I_R1 = 1.993 A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R2 = 1.147 A

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 6 + 5 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 3.438 Ω

R₃ + 3.438 = 8.438 Ω

R₂ ∥ 8.438 = 3.14 Ω

R_eq = R₁ + 3.14 = 10 + 3.14 = 13.14 Ω

स्रोत से धारा

I_R1 = V₁/R_eq = 24/13.14 = 1.827 A

R₂ से होकर धारा

नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1.827·10 = 5.735 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.735/5 = 1.147 A

उत्तर

I_R2 = 1.147 A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_R = 6.094 V

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0.4545 ms

धारा का क्षय

i(t) = 2.5·e^−1/0.4545 = 0.277 A

v_R = R·i = 22·0.277 = 6.094 V

उत्तर

v_R = 6.094 V

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 0.5694 A

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

t = 0 से पहले बंद स्विच R₂ को बायपास करता है; बाद में R₁ और R₂ दोनों लूप में हैं।

i(0) = 24/10 = 2.4 A

i(∞) = 24/(10 + 47) = 0.4211 A

τ = L/R = 22/57 = 0.386 ms

i(t) = 0.4211 + (2.4 − 0.4211)·e^−t/τ

दिए गए समय पर धारा

i(1) = 0.4211 + (1.979)·e^−1/0.386 = 0.5694 A

उत्तर

i = 0.5694 A

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: ε = 9 V

विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।

प्रति फेरा फ्लक्स में परिवर्तन

ΔΦ = 2·0.3·0.015 = 0.009 Wb

औसत emf

ε = NΔΦ/Δt = 250·0.009/0.25 = 9 V

उत्तर

ε = 9 V

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: W = 370.1 µJ

स्वप्रेरकत्व

L = μ₀N²A/l = 82.25 µH

संचित ऊर्जा

W = ½LI² = ½·8.225 × 10⁻⁵·3² = 0.0003701 J = 370.1 µJ

उत्तर

W = 370.1 µJ

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: I = 0.0328 A

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2.2·10⁻⁶) = 361.7 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−298.9)²) = 304.8 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 10/304.8 = 0.0328 A

उत्तर

I = 0.0328 A

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: f₀ = 75.87 Hz

अनुनाद

अनुनाद पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: ωL = 1/(ωC)। आपूर्ति आवृत्ति मायने नहीं रखती।

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.2·22·10⁻⁶)) = 75.87 Hz

उत्तर

f₀ = 75.87 Hz

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