कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
- कूलॉम का नियम
- F = k·|q1q2|/r²
- बिंदु आवेश का क्षेत्र
- E = k·|q|/r²
- स्थिरांक
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- आवेश पर बल
- F = q·E
भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
- श्रेणी में प्रतिरोध
- Req = R1 + R2 + …
- समांतर में प्रतिरोध
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- दो समांतर में
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- ओम का नियम
- V = I·R
- शक्ति
- P = V·I = I²R = V²/R
विधि
- नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
- श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
- हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
- तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।
RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
- समय स्थिरांक
- τ = RC | τ = L/R
- अनुक्रिया
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- DC पर संधारित्र
- खुला परिपथ; vC अचानक नहीं बदल सकता
- DC पर प्रेरक
- शॉर्ट सर्किट; iL अचानक नहीं बदल सकता
- स्थिर अवस्था
- t ≈ 5τ
विधि
- स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
- स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
- समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ का उपयोग करें।
चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
- लंबा सीधा तार
- B = μ0I/(2πr)
- समतल कुंडली का केंद्र
- B = μ0NI/(2R)
- लंबी परिनालिका
- B = μ0nI, n = N/L
- स्थिरांक
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- तार पर बल
- F = BIL·sin θ
- आवेश पर बल
- F = |q|vB·sin θ
- वृत्तीय गति
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- समांतर तार
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- फ्लक्स
- Φ = BA·cos θ
- फैराडे का नियम
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- गतिमान छड़
- ε = BLv
- जनित्र
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- प्रेरकत्व
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- अन्योन्य प्रेरकत्व
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
विधि
- हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
- सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
- प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
- दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।
AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
- प्रतिबाधाएँ
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = 2πf
- परिमाण और कोण
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- फेज़र रूप में ओम का नियम
- V = I·Z
विधि
- आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
- हर प्रतिघात ज्ञात करें: XL = ωL और XC = 1/(ωC)।
- प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
- परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम
तीन बिंदु आवेश एक सीधी रेखा पर हैं: बाईं ओर +5 µC, 20 cm दूर दाईं ओर −3 µC, और उनके बीच, बाएँ आवेश से 12 cm पर, −2 µC। बीच वाले आवेश पर नेट विद्युत बल F का परिमाण ज्ञात कीजिए। Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +5 µCqR = −3 µCqM = −2 µCrL = 12 cmrR = 8 cm
F = N
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन
1 g द्रव्यमान वाली दो सर्वसम छोटी गेंदें 60 cm लंबे विद्युतरोधी धागों पर एक ही बिंदु से लटकी हैं। उन्हें बराबर आवेश दिए जाते हैं और हर धागा ऊर्ध्वाधर से 8° पर ठहर जाता है। g = 9.81 m/s² लें। हर गेंद पर आवेश q nC में ज्ञात कीजिए। Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 1 gL = 60 cmθ = 8°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम
R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।
V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 6 ΩR4 = 12 Ω
IR2 = A
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन
R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।
V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 2 ΩR5 = 12 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम
स्रोत Vₛ, R₁ के माध्यम से संधारित्र को आवेशित करता है, और R₂, C के समांतर जुड़ा है। t = 0 पर स्विच बंद होते समय संधारित्र अनावेशित है। t = 250 ms पर संधारित्र वोल्टता vC ज्ञात कीजिए।
Vs = 9 VR1 = 2.2 kΩR2 = 4.7 kΩC = 68 µFt = 250 ms
vC = V
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन
स्विच लंबे समय से बंद है, इसलिए परिपथ स्थायी अवस्था में है। t = 0 पर स्विच खुलता है। t = 80 ms पर संधारित्र वोल्टता vC ज्ञात कीजिए।
Vs = 15 VR1 = 4.7 kΩR2 = 2.2 kΩC = 100 µFt = 80 ms
vC = V
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम
एक ऐल्फ़ा कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में समकोण पर 1.5 × 10⁵ m/s से प्रवेश करता है और 0.2074 cm त्रिज्या के वृत्त पर चलता है। चुंबकीय फ्लक्स घनत्व B ज्ञात करें।
m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 1.5 × 10⁵ m/sr = 0.2074 cm
B = T
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन
250 फेरों की, 20 cm × 5 cm की कुंडली, क्षेत्र के लंबवत अक्ष के परितः 0.25 T के एकसमान क्षेत्र में 300 rpm से घूमती है। emf का rms मान Erms ज्ञात करें।
N = 250A = 20 cm × 5 cmB = 0.25 Tn = 300 rpm
Erms = V
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम
एक श्रेणी RLC परिपथ 50 V (rms), 200 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।
V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 100 µF
φ = °
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन
एक श्रेणी RLC परिपथ में R = 50 Ω, L = 2 mH और C = 0.22 µF है। इसकी बैंडविड्थ B (अर्ध-शक्ति आवृत्तियों के बीच के बैंड की चौड़ाई) Hz में ज्ञात कीजिए।
R = 50 ΩL = 2 mHC = 0.22 µF
B = Hz
3विलयन
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: F = 14.67 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
हर आवेश से बल
दाईं ओर धनात्मक है।
FL = −k·5·2 × 10⁻¹²/0.12² = −6.243 N
FR = −k·3·2 × 10⁻¹²/0.08² = −8.428 N
नेट बल
F = −6.243 + (−8.428) = −14.67 N → |F| = 14.67 N
उत्तर
F = 14.67 N
नेट बल बाईं ओर है।
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: q = 65.4 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
संतुलन से विद्युत बल
तनाव का क्षैतिज भाग F को और ऊर्ध्वाधर भाग m·g को संतुलित करता है।
F = m·g·tan θ = 0.001·9.81·tan 8° = 0.001379 N
दूरी
r = 2·L·sin θ = 2·0.6·sin 8° = 0.167 m
आवेश
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.167·√(0.001379/8.99 × 10⁹) = 6.54 × 10⁻⁸ C = 65.4 nC
उत्तर
q = 65.4 nC
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: IR2 = 0.6 A
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R3 + R4 = 6 + 12 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 6·18/(6+18) = 4.5 Ω
Req = R1 + 4.5 = 8 + 4.5 = 12.5 Ω
स्रोत से धारा
स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।
IR1 = V1/Req = 10/12.5 = 0.8 A
R₂ से होकर धारा
नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0.8·8 = 3.6 V
IR2 = VA/R2 = 3.6/6 = 0.6 A
उत्तर
IR2 = 0.6 A
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: IR2 = 0.3383 A
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R5 + R6 = 12 + 12 = 24 Ω
R4 ∥ 24 = 1.846 Ω
R3 + 1.846 = 7.846 Ω
R2 ∥ 7.846 = 3.054 Ω
Req = R1 + 3.054 = 15 + 3.054 = 18.05 Ω
स्रोत से धारा
स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।
IR1 = V1/Req = 10/18.05 = 0.5539 A
R₂ से होकर धारा
नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0.5539·15 = 1.692 V
IR2 = VA/R2 = 1.692/5 = 0.3383 A
उत्तर
IR2 = 0.3383 A
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: vC = 5.603 V
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
संधारित्र द्वारा देखा गया थेवेनिन तुल्य
Rth के लिए स्रोत को शॉर्ट करें; संधारित्र को हटाकर (खुला करके) वह वोल्टता ज्ञात करें जिस पर वह स्थिर होगा।
Rth = R1 ∥ R2 = 2.2·4.7/(2.2 + 4.7) = 1.499 kΩ
vC(∞) = 9·4.7/(2.2 + 4.7) = 6.13 V
समय स्थिरांक
τ = Rth·C = 1.499·68 = 101.9 ms
आवेशन वक्र
vC(t) = 6.13·(1 − e−250/101.9) = 5.603 V
उत्तर
vC = 5.603 V
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: vC = 3.325 V
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
प्रारंभिक संधारित्र वोल्टता
स्थायी अवस्था में संधारित्र खुला परिपथ है, इसलिए R₁ और R₂ एक वोल्टता विभाजक बनाते हैं। स्विच खुलने पर संधारित्र वोल्टता छलाँग नहीं लगा सकती।
vC(0) = 15·2.2/(4.7 + 2.2) = 4.783 V
स्विच खुलने के बाद समय स्थिरांक
τ = R2·C = 2.2·100 = 220 ms
निरावेशन
vC(t) = 4.783·e−80/220 = 3.325 V
उत्तर
vC = 3.325 V
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: B = 1.5 T
चुंबकीय बल: क्षेत्र B में I ले जाने वाला सीधा तार F = BIL·sin θ अनुभव करता है, और गतिमान आवेश F = |q|vB·sin θ, जहाँ θ धारा (या वेग) और B के बीच का कोण है। बल दोनों के लंबवत होता है: दाहिने हाथ की उँगलियाँ I या v की दिशा में रखें, उन्हें B की ओर मोड़ें, और अँगूठा धनात्मक आवेश के लिए F देता है; ऋणात्मक आवेश के लिए इसे उलट दें। क्योंकि F, v के लंबवत है, एकसमान क्षेत्र के आर-पार चलता आवेश वृत्त में चलता है: |q|vB = mv²/r से r = mv/(|q|B) और आवर्तकाल T = 2πm/(|q|B) मिलता है, जो चाल पर निर्भर नहीं करता। एक ही दिशा की धाराओं के लिए दो समांतर तार आकर्षित करते हैं: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)।
त्रिज्या से क्षेत्र
B = mv/(|q|r) = 6.645 × 10⁻²⁷·1.5 × 10⁵/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.002074) = 1.5 T
उत्तर
B = 1.5 T
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: Erms = 13.88 V
विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।
कोणीय चाल और क्षेत्रफल
ω = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
A = 0.01 m²
शिखर emf
E₀ = NBAω = 250·0.25·0.01·31.42 = 19.63 V
rms मान
Erms = 19.63/√2 = 13.88 V
उत्तर
Erms = 13.88 V
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: φ = 9.745 °
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
प्रतिघात
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.02 = 25.13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω
प्रतिबाधा
श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(XL − XC)।
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (17.17)²) = 101.5 Ω
कलान्तर कोण
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(17.17/100) = 9.745°
उत्तर
φ = 9.745°
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: B = 3979 Hz
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
अनुनादी आवृत्ति
f0 = 1/(2π·√(0.002·0.22·10⁻⁶)) = 7587 Hz
गुणता गुणक
Q अनुनाद पर प्रतिघात की तुलना प्रतिरोध से करता है: Q = ω₀L/R।
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0.002/(0.22·10⁻⁶)) = 1.907
बैंडविड्थ
B = f0/Q = 7587/1.907 = 3979 Hz
उत्तर
B = 3979 Hz
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