शक्ति तंत्र और विद्युत मशीनें: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

Y संयोजन: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ संयोजन: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
कुल वास्तविक शक्ति: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
आभासी और प्रतिघाती शक्ति: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
प्रत्येक संधारित्र पर वोल्टता: Δ: V_L Y: V_L/√3
मोटर निवेश: P_in = P_out/η

ट्रांसफ़ॉर्मर

फेरों का अनुपात: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
धारा अनुपात: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
निर्धारित धारा: I = S/V
स्थानांतरित प्रतिबाधा: Z₁′ = a²·Z_L
आंशिक भार पर ताम्र हानि: P_cu = x²·P_cu,fl
दक्षता: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
अधिकतम दक्षता: x = √(P_core/P_cu,fl)

AC शक्ति और शक्ति गुणक

सक्रिय शक्ति: P = V·I·cos φ
प्रतिघाती शक्ति: Q = V·I·sin φ
आभासी शक्ति: S = V·I = √(P² + Q²)
शक्ति गुणांक: pf = cos φ = P/S
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

DC मोटरें

आर्मेचर परिपथ: V = E + I_aR_a
Back-EMF और बल-आघूर्ण: E = k·ω, T = k·I_a
चाल: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
अनिरोध चाल और रुद्ध बल-आघूर्ण: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
शक्तियाँ: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
प्रारंभ: I_start = V/(R_a + R_st)
चाल नियमन: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
अधिकतम विकसित शक्ति: P_max = V²/(4R_a)
चॉपर ड्राइव: V_a = D·V_dc

विधि

आर्मेचर परिपथ खींचिए: आपूर्ति V, प्रतिरोध R_a और back-EMF E श्रेणीक्रम में।
वोल्टता, धारा और back-EMF को जोड़ने के लिए V = E + I_a·R_a का उपयोग कीजिए।
चाल के लिए E = k·ω और बल-आघूर्ण के लिए T = k·I_a का उपयोग कीजिए, जहाँ ω = 2π·n/60।
शक्ति और दक्षता के लिए V·I_a से शुरू कीजिए, ताम्र हानि I_a²·R_a घटाइए और फिर घूर्णन हानियाँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.त्रि-फ़ेज़ शक्तिमध्यम

एक त्रि-फ़ेज़ प्रेरण मोटर पूर्ण भार पर 30 kW यांत्रिक निर्गत शक्ति देती है। इस भार पर इसकी दक्षता 92% और शक्ति गुणक 0.86 पश्चगामी है। आपूर्ति की लाइन-से-लाइन वोल्टता 690 V है। लाइन धारा I_L ज्ञात कीजिए।

P_out = 30 kWη = 92%cos φ = 0.86V_L = 690 V

I_L = A

2.त्रि-फ़ेज़ शक्तिकठिन

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 400 V (लाइन-से-लाइन), 50 Hz आपूर्ति से 0.8 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 250 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.98 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र Δ में जुड़े हैं। हर संधारित्र की धारिता C_ph µF में ज्ञात कीजिए।

P = 250 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.98V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ट्रांसफ़ॉर्मरमध्यम

फेरा अनुपात N₁:N₂ = 5:1 वाले एक आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर की प्राथमिक कुंडली पर 1150 V लगाया गया है। द्वितीयक कुंडली के सिरों पर 24 Ω का प्रतिरोधक जुड़ा है। प्राथमिक धारा I₁ ज्ञात कीजिए।

N₁:N₂ = 5:1V₁ = 1150 VR_L = 24 Ω

I₁ = A

4.ट्रांसफ़ॉर्मरकठिन

एक एकल-फ़ेज़ 50 kVA ट्रांसफ़ॉर्मर की क्रोड हानि 200 W और निर्धारित भार पर ताम्र हानि 600 W है। किस भार S_η,max पर, kVA में, इसकी दक्षता सबसे अधिक होती है?

S = 50 kVAP_core = 200 WP_cu,fl = 600 W

S_η,max = kVA

5.AC शक्ति और शक्ति गुणकमध्यम

एक प्रेरकीय भार 230 V (rms) एकल-फ़ेज़ आपूर्ति से 11.5 A और 1587 W लेता है। इसे प्रतिघात X के साथ श्रेणी में एक प्रतिरोध R के रूप में मॉडल करें। R ज्ञात कीजिए।

V = 230 VI = 11.5 AP = 1587 W

R = Ω

6.AC शक्ति और शक्ति गुणककठिन

एक एकल-फ़ेज़ भार 400 V, 60 Hz आपूर्ति से 0.65 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 25 kW लेता है। समांतर में जुड़ा संधारित्र शक्ति गुणक को 0.9 तक बढ़ाता है। आवश्यक धारिता C ज्ञात कीजिए।

P = 25 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.9V = 400 Vf = 60 Hz

C = µF

7.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 10 V (rms), 500 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

I = A

8.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ 120 V (rms), 60 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। परिपथ की अनुनादी आवृत्ति f₀ ज्ञात कीजिए।

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF

f₀ = Hz

9.DC मोटरेंमध्यम

एक DC मोटर 2900 rpm पर 0.5 kW यांत्रिक शक्ति देती है। शाफ़्ट बल-आघूर्ण T ज्ञात कीजिए।

P = 0.5 kWn = 2900 rpm

T = N·m

10.DC मोटरेंकठिन

एक छोटी DC मोटर का आर्मेचर प्रतिरोध 3 Ω है और यह 24 V से चलती है। घूर्णन हानियाँ नगण्य मानते हुए, किसी भी चाल पर यह जो सबसे अधिक यांत्रिक शक्ति P_max विकसित कर सकती है, ज्ञात कीजिए।

V = 24 VR_a = 3 Ω

P_max = W

3विलयन

1.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: I_L = 31.73 A

विद्युत निवेश शक्ति

P_in = P_out/η = 30/0.92 = 32.61 kW

लाइन धारा

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 32609/(√3·690·0.86) = 31.73 A

उत्तर

I_L = 31.73 A

2.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: C_ph = 906.8 µF

संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, V_L = √3·V_ph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, I_L = √3·I_ph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)। तीनों संधारित्रों में से हर एक Q_C/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में V_L, Y बैंक में V_L/√3।

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।

Q₁ = 250·tan(acos 0.8) = 250·0.75 = 187.5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0.98) = 250·0.2031 = 50.76 kvar

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

Q_C = Q₁ − Q₂ = 136.7 kvar

प्रति फ़ेज़ धारिता

Δ बैंक में हर संधारित्र दो लाइनों के बीच जुड़ा होता है।

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 45578/(314.2·400²) = 906.8 µF

उत्तर

C_ph = 906.8 µF

3.ट्रांसफ़ॉर्मर

उत्तर: I₁ = 1.917 A

आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर: वोल्टताएँ फेरों के अनुपात में और धाराएँ उसके व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a और I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, इसलिए निवेश शक्ति निर्गत शक्ति के बराबर होती है, V₁·I₁ = V₂·I₂। द्वितीयक पर लगी भार प्रतिबाधा Z प्राथमिक से a²·Z जैसी दिखती है।

द्वितीयक वोल्टता और धारा

V₂ = 1150/5 = 230 V

I₂ = 230/24 = 9.583 A

प्राथमिक धारा

आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर में कोई हानि नहीं होती: V₁·I₁ = V₂·I₂।

I₁ = I₂/5 = 1.917 A

उत्तर

I₁ = 1.917 A

जाँच: प्राथमिक से दिखने वाला भार a²·R_L = 600 Ω है, और 1150/600 से वही धारा मिलती है।

4.ट्रांसफ़ॉर्मर

उत्तर: S_η,max = 28.87 kVA

ट्रांसफ़ॉर्मर हानियाँ: क्रोड हानि (शैथिल्य और भँवर धाराएँ) वोल्टता पर निर्भर करती है और किसी भी भार पर समान रहती है। कुंडलियों में ताम्र हानि धारा के वर्ग के साथ बदलती है, इसलिए निर्धारित भार के x अंश पर यह x²·P_cu,fl होती है। दक्षता η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), जहाँ P_out = x·S·pf। दक्षता उस भार पर सबसे अधिक होती है जहाँ ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर होती है।

ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर

x²·600 = 200 → x = √(200/600) = 0.5774

अधिकतम दक्षता पर भार

S_η,max = x·S = 0.5774·50 = 28.87 kVA

उत्तर

S_η,max = 28.87 kVA

5.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: R = 12 Ω

AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।

सक्रिय शक्ति से प्रतिरोध

R = P/I² = 1587/11.5² = 12 Ω

उत्तर

R = 12 Ω

6.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: C = 283.8 µF

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

सक्रिय शक्ति P नहीं बदलती; केवल आपूर्ति से ली गई प्रतिघाती शक्ति बदलती है।

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(49.46°) = 29.23 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(25.84°) = 12.11 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 17.12 kvar

धारिता

आपूर्ति के पार लगा संधारित्र Q = V²·ωC देता है।

C = Q_C/(2πf·V²) = 17120/(2π·60·400²) = 283.8 µF

उत्तर

C = 283.8 µF

7.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: I = 0.09291 A

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (89.35)²) = 107.6 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 10/107.6 = 0.09291 A

उत्तर

I = 0.09291 A

8.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: f₀ = 232.2 Hz

अनुनाद

अनुनाद पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: ωL = 1/(ωC)। आपूर्ति आवृत्ति मायने नहीं रखती।

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.1·4.7·10⁻⁶)) = 232.2 Hz

उत्तर

f₀ = 232.2 Hz

9.DC मोटरें

उत्तर: T = 1.646 N·m

DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध R_a है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + I_a·R_a। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·I_a, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·I_a = T·ω है; निवेश शक्ति V·I_a है, और ताम्र हानि I_a²R_a तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − R_a·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/R_a पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/R_a बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।

rad/s में चाल

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

बलाघूर्ण

T = P/ω = 500/303.7 = 1.646 N·m

उत्तर

T = 1.646 N·m

10.DC मोटरें

उत्तर: P_max = 48 W

back-EMF के फलन के रूप में शक्ति

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V

अधिकतम शक्ति

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 24²/(4·3) = 48 W

उत्तर

P_max = 48 W

इस बिंदु पर दक्षता केवल 50 % है, इसलिए वास्तविक मोटरें आधी चाल से काफ़ी ऊपर चलती हैं।

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