शक्ति तंत्र और विद्युत मशीनें: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

Y संयोजन: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ संयोजन: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
कुल वास्तविक शक्ति: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
आभासी और प्रतिघाती शक्ति: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
प्रत्येक संधारित्र पर वोल्टता: Δ: V_L Y: V_L/√3
मोटर निवेश: P_in = P_out/η

ट्रांसफ़ॉर्मर

फेरों का अनुपात: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
धारा अनुपात: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
निर्धारित धारा: I = S/V
स्थानांतरित प्रतिबाधा: Z₁′ = a²·Z_L
आंशिक भार पर ताम्र हानि: P_cu = x²·P_cu,fl
दक्षता: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
अधिकतम दक्षता: x = √(P_core/P_cu,fl)

AC शक्ति और शक्ति गुणक

सक्रिय शक्ति: P = V·I·cos φ
प्रतिघाती शक्ति: Q = V·I·sin φ
आभासी शक्ति: S = V·I = √(P² + Q²)
शक्ति गुणांक: pf = cos φ = P/S
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

DC मोटरें

आर्मेचर परिपथ: V = E + I_aR_a
Back-EMF और बल-आघूर्ण: E = k·ω, T = k·I_a
चाल: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
अनिरोध चाल और रुद्ध बल-आघूर्ण: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
शक्तियाँ: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
प्रारंभ: I_start = V/(R_a + R_st)
चाल नियमन: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
अधिकतम विकसित शक्ति: P_max = V²/(4R_a)
चॉपर ड्राइव: V_a = D·V_dc

विधि

आर्मेचर परिपथ खींचिए: आपूर्ति V, प्रतिरोध R_a और back-EMF E श्रेणीक्रम में।
वोल्टता, धारा और back-EMF को जोड़ने के लिए V = E + I_a·R_a का उपयोग कीजिए।
चाल के लिए E = k·ω और बल-आघूर्ण के लिए T = k·I_a का उपयोग कीजिए, जहाँ ω = 2π·n/60।
शक्ति और दक्षता के लिए V·I_a से शुरू कीजिए, ताम्र हानि I_a²·R_a घटाइए और फिर घूर्णन हानियाँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.त्रि-फ़ेज़ शक्तिमध्यम

एक त्रि-फ़ेज़ प्रेरण मोटर पूर्ण भार पर 75 kW यांत्रिक निर्गत शक्ति देती है। इस भार पर इसकी दक्षता 92% और शक्ति गुणक 0.9 पश्चगामी है। आपूर्ति की लाइन-से-लाइन वोल्टता 690 V है। लाइन धारा I_L ज्ञात कीजिए।

P_out = 75 kWη = 92%cos φ = 0.9V_L = 690 V

I_L = A

2.त्रि-फ़ेज़ शक्तिकठिन

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 415 V (लाइन-से-लाइन), 60 Hz आपूर्ति से 0.72 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 120 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.98 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र Δ में जुड़े हैं। हर संधारित्र की धारिता C_ph µF में ज्ञात कीजिए।

P = 120 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.98V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ट्रांसफ़ॉर्मरमध्यम

एक एकल-फ़ेज़ 15 kVA, 6600/230 V ट्रांसफ़ॉर्मर अपने निर्धारित भार पर चल रहा है। इसे आदर्श मानें। निम्न-वोल्टता कुंडली में धारा I_LV ज्ञात कीजिए।

S = 15 kVAV₁ = 6600 VV₂ = 230 V

I_LV = A

4.ट्रांसफ़ॉर्मरकठिन

एक एकल-फ़ेज़ 25 kVA ट्रांसफ़ॉर्मर की क्रोड हानि 125 W और निर्धारित भार पर ताम्र हानि 250 W है। किस भार S_η,max पर, kVA में, इसकी दक्षता सबसे अधिक होती है?

S = 25 kVAP_core = 125 WP_cu,fl = 250 W

S_η,max = kVA

5.AC शक्ति और शक्ति गुणकमध्यम

प्रतिबाधा Z = 4 + j3 Ω वाला एक भार 120 V (rms) एकल-फ़ेज़ आपूर्ति से जुड़ा है। इसके द्वारा अवशोषित प्रतिघाती शक्ति Q ज्ञात कीजिए।

V = 120 VZ = 4 + j3 Ω

Q = var

6.AC शक्ति और शक्ति गुणककठिन

एक 200 kVA एकल-फ़ेज़ ट्रांसफ़ॉर्मर 0.7 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 102 kW का भार आपूर्ति करता है। ट्रांसफ़ॉर्मर के अपनी kVA रेटिंग तक पहुँचने से पहले प्रतिरोधी (एकांक शक्ति गुणक) भार के रूप में कितनी अतिरिक्त सक्रिय शक्ति ΔP जोड़ी जा सकती है?

S_max = 200 kVAP₁ = 102 kWpf₁ = 0.7

ΔP = kW

7.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक प्रतिरोधक और एक प्रेरक 50 V (rms), 60 Hz आपूर्ति के आर-पार समांतर में जुड़े हैं। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 100 mH

φ = °

8.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ 230 V (rms), 1000 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। संधारित्र पर rms वोल्टता V_C ज्ञात कीजिए।

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_C = V

9.DC मोटरेंमध्यम

एक DC मोटर 48 V आपूर्ति से 6 A लेती है। इसका आर्मेचर प्रतिरोध 0.5 Ω है और इसकी घूर्णन (घर्षण, वायु-अवरोध और लौह) हानियाँ 22 W हैं। इसकी दक्षता η ज्ञात कीजिए।

V = 48 VI_a = 6 AR_a = 0.5 ΩP_rot = 22 W

η = %

10.DC मोटरेंकठिन

k = 1.2 V·s/rad और R_a = 0.4 Ω वाली एक DC मोटर को 750 rpm पर 48 N·m का भार चलाना है। इसके लिए आवश्यक आर्मेचर वोल्टता V ज्ञात कीजिए।

k = 1.2 V·s/radR_a = 0.4 ΩT = 48 N·mn = 750 rpm

V = V

3विलयन

1.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: I_L = 75.79 A

विद्युत निवेश शक्ति

P_in = P_out/η = 75/0.92 = 81.52 kW

लाइन धारा

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 81522/(√3·690·0.9) = 75.79 A

उत्तर

I_L = 75.79 A

2.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: C_ph = 468.7 µF

संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, V_L = √3·V_ph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, I_L = √3·I_ph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)। तीनों संधारित्रों में से हर एक Q_C/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में V_L, Y बैंक में V_L/√3।

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।

Q₁ = 120·tan(acos 0.72) = 120·0.9639 = 115.7 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0.98) = 120·0.2031 = 24.37 kvar

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

Q_C = Q₁ − Q₂ = 91.3 kvar

प्रति फ़ेज़ धारिता

Δ बैंक में हर संधारित्र दो लाइनों के बीच जुड़ा होता है।

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 30432/(377·415²) = 468.7 µF

उत्तर

C_ph = 468.7 µF

3.ट्रांसफ़ॉर्मर

उत्तर: I_LV = 65.22 A

आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर: वोल्टताएँ फेरों के अनुपात में और धाराएँ उसके व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a और I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, इसलिए निवेश शक्ति निर्गत शक्ति के बराबर होती है, V₁·I₁ = V₂·I₂। द्वितीयक पर लगी भार प्रतिबाधा Z प्राथमिक से a²·Z जैसी दिखती है।

निर्धारित धारा

दोनों कुंडलियाँ समान आभासी शक्ति वहन करती हैं।

I_LV = S/V = 15000/230 = 65.22 A

उत्तर

I_LV = 65.22 A

4.ट्रांसफ़ॉर्मर

उत्तर: S_η,max = 17.68 kVA

ट्रांसफ़ॉर्मर हानियाँ: क्रोड हानि (शैथिल्य और भँवर धाराएँ) वोल्टता पर निर्भर करती है और किसी भी भार पर समान रहती है। कुंडलियों में ताम्र हानि धारा के वर्ग के साथ बदलती है, इसलिए निर्धारित भार के x अंश पर यह x²·P_cu,fl होती है। दक्षता η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), जहाँ P_out = x·S·pf। दक्षता उस भार पर सबसे अधिक होती है जहाँ ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर होती है।

ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर

x²·250 = 125 → x = √(125/250) = 0.7071

अधिकतम दक्षता पर भार

S_η,max = x·S = 0.7071·25 = 17.68 kVA

उत्तर

S_η,max = 17.68 kVA

5.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: Q = 1728 var

AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।

धारा

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I = V/|Z| = 120/5 = 24 A

प्रतिघाती शक्ति

Q = I²·X = 24²·3 = 1728 var

उत्तर

Q = 1728 var

6.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: ΔP = 68.8 kW

मौजूदा भार की प्रतिघाती शक्ति

Q₁ = 102·tan(arccos 0.7) = 104.1 kvar

अधिकतम कुल सक्रिय शक्ति

पूरी रेटिंग पर S = S_max, और प्रतिरोधी भार से Q नहीं बदलता।

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 104.1²) = 170.8 kW

अतिरिक्त सक्रिय शक्ति

ΔP = 170.8 − 102 = 68.8 kW

उत्तर

ΔP = 68.8 kW

7.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: φ = 69.34 °

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

X_L = ωL = 2π·60·0.1 = 37.7 Ω

शाखा धाराएँ

दोनों शाखाएँ सीधे आपूर्ति के आर-पार जुड़ी हैं, इसलिए हर एक पूरी वोल्टता V देखती है।

I_R = V/R = 50/100 = 0.5 A

I_X = V/X_L = 50/37.7 = 1.326 A

कुल धारा

प्रतिरोधक धारा V के साथ समान कला में है और प्रतिघाती धारा 90° कला से बाहर है, इसलिए वे समकोण त्रिभुज की भुजाओं की तरह जुड़ती हैं।

I = √(I_R² + I_X²) = √(0.5² + 1.326²) = 1.417 A

कलान्तर कोण

प्रेरक धारा V से पीछे रहती है, इसलिए कुल धारा पीछे रहती है और कोण धनात्मक है।

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(1.326/0.5) = 69.34°

उत्तर

φ = 69.34°

8.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: V_C = 12.1 V

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15.92 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (298.2)²) = 302.4 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 230/302.4 = 0.7606 A

संधारित्र पर वोल्टता

V_C = I·X_C = 0.7606·15.92 = 12.1 V

उत्तर

V_C = 12.1 V

9.DC मोटरें

उत्तर: η = 86.11 %

DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध R_a है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + I_a·R_a। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·I_a, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·I_a = T·ω है; निवेश शक्ति V·I_a है, और ताम्र हानि I_a²R_a तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − R_a·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/R_a पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/R_a बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।

शक्तियाँ

P_in = 48·6 = 288 W

P_dev = 45·6 = 270 W

P_out = 270 − 22 = 248 W

दक्षता

η = 248/288·100 = 86.11 %

उत्तर

η = 86.11 %

10.DC मोटरें

उत्तर: V = 110.2 V

Back-EMF

E = 1.2·78.54 = 94.25 V

आर्मेचर धारा

I_a = 48/1.2 = 40 A

आर्मेचर वोल्टता

V = 94.25 + 40·0.4 = 110.2 V

उत्तर

V = 110.2 V

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