शक्ति तंत्र और विद्युत मशीनें: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

Y संयोजन
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ संयोजन
VL = Vph, IL = √3·Iph
कुल वास्तविक शक्ति
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
आभासी और प्रतिघाती शक्ति
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
सुधार संधारित्र
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
प्रत्येक संधारित्र पर वोल्टता
Δ: VL Y: VL/√3
मोटर निवेश
Pin = Pout/η

ट्रांसफ़ॉर्मर

फेरों का अनुपात
a = N1/N2 = V1/V2
धारा अनुपात
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
निर्धारित धारा
I = S/V
स्थानांतरित प्रतिबाधा
Z1′ = a²·ZL
आंशिक भार पर ताम्र हानि
Pcu = x²·Pcu,fl
दक्षता
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
अधिकतम दक्षता
x = √(Pcore/Pcu,fl)

AC शक्ति और शक्ति गुणक

सक्रिय शक्ति
P = V·I·cos φ
प्रतिघाती शक्ति
Q = V·I·sin φ
आभासी शक्ति
S = V·I = √(P² + Q²)
शक्ति गुणांक
pf = cos φ = P/S
सुधार संधारित्र
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति
ω = 2πf
परिमाण और कोण
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम
V = I·Z

विधि

  1. आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
  2. हर प्रतिघात ज्ञात करें: XL = ωL और XC = 1/(ωC)।
  3. प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
  4. परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

DC मोटरें

आर्मेचर परिपथ
V = E + IaRa
Back-EMF और बल-आघूर्ण
E = k·ω, T = k·Ia
चाल
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
अनिरोध चाल और रुद्ध बल-आघूर्ण
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
शक्तियाँ
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
प्रारंभ
Istart = V/(Ra + Rst)
चाल नियमन
SR = (n0 − nFL)/nFL
अधिकतम विकसित शक्ति
Pmax = V²/(4Ra)
चॉपर ड्राइव
Va = D·Vdc

विधि

  1. आर्मेचर परिपथ खींचिए: आपूर्ति V, प्रतिरोध Ra और back-EMF E श्रेणीक्रम में।
  2. वोल्टता, धारा और back-EMF को जोड़ने के लिए V = E + Ia·Ra का उपयोग कीजिए।
  3. चाल के लिए E = k·ω और बल-आघूर्ण के लिए T = k·Ia का उपयोग कीजिए, जहाँ ω = 2π·n/60।
  4. शक्ति और दक्षता के लिए V·Ia से शुरू कीजिए, ताम्र हानि Ia²·Ra घटाइए और फिर घूर्णन हानियाँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.त्रि-फ़ेज़ शक्तिमध्यम
ABCVL​ = 415 VZ = 9 + j12 Ωप्रति फ़ेज़

प्रति फ़ेज़ 9 + j12 Ω प्रतिबाधा वाला एक संतुलित Δ-संयोजित भार 415 V लाइन-से-लाइन वोल्टता वाली संतुलित त्रि-फ़ेज़ आपूर्ति से जुड़ा है। भार द्वारा अवशोषित कुल वास्तविक शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

VL = 415 VZ = 9 + j12 Ω प्रति फ़ेज़
P = kW
2.त्रि-फ़ेज़ शक्तिकठिन
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 400 V (लाइन-से-लाइन), 60 Hz आपूर्ति से 0.75 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 150 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.95 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र बैंक द्वारा दी जाने वाली कुल प्रतिघाती शक्ति QC kvar में ज्ञात कीजिए।

P = 150 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3.ट्रांसफ़ॉर्मरमध्यम
5 ΩN1​N2​125 Ω

125 Ω निर्गत प्रतिरोध वाला एक प्रवर्धक एक आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर के माध्यम से 5 Ω के लाउडस्पीकर को चलाता है। अधिकतम शक्ति अंतरण के लिए लाउडस्पीकर प्रवर्धक से 125 Ω जैसा दिखना चाहिए। फेरा अनुपात a = N₁/N₂ ज्ञात कीजिए।

Rs = 125 ΩRL = 5 Ω
a =
4.ट्रांसफ़ॉर्मरकठिन
pf 0.875 kVA, η = 97%

एक एकल-फ़ेज़ 75 kVA ट्रांसफ़ॉर्मर की क्रोड हानि 600 W है। निर्धारित भार और 0.8 पश्चगामी शक्ति गुणक पर इसकी दक्षता 97% है। पूर्ण-भार ताम्र हानि Pcu,fl वाट में ज्ञात कीजिए।

S = 75 kVAPcore = 600 Wpf = 0.8η = 97%
Pcu,fl = W
5.AC शक्ति और शक्ति गुणकमध्यम
240 VZ8 + j6 ΩI

प्रतिबाधा Z = 8 + j6 Ω वाला एक भार 240 V (rms) एकल-फ़ेज़ आपूर्ति से जुड़ा है। इसके द्वारा अवशोषित प्रतिघाती शक्ति Q ज्ञात कीजिए।

V = 240 VZ = 8 + j6 Ω
Q = var
6.AC शक्ति और शक्ति गुणककठिन
P = 35 kWQ1​S1​φ1​QC​

एक एकल-फ़ेज़ भार 240 V, 60 Hz आपूर्ति से 0.6 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 35 kW लेता है। समांतर में जुड़ा संधारित्र शक्ति गुणक को 0.9 तक बढ़ाता है। संधारित्र द्वारा दी जाने वाली प्रतिघाती शक्ति QC ज्ञात कीजिए।

P = 35 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.9V = 240 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम
24 V500 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 2.2 µFI

एक श्रेणी RLC परिपथ 24 V (rms), 500 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। परिपथ का शक्ति गुणक cos φ ज्ञात कीजिए।

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF
cos φ =
8.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन
230 V200 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF

एक श्रेणी RLC परिपथ 230 V (rms), 200 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। परिपथ की अनुनादी आवृत्ति f0 ज्ञात कीजिए।

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF
f0 = Hz
9.DC मोटरेंमध्यम
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

k = 0.6 V·s/rad वाली एक DC मोटर 120 V से चलती है। अनिरोध पर सभी हानियाँ नगण्य मानते हुए rpm में इसकी अनिरोध चाल n0 ज्ञात कीजिए।

V = 120 Vk = 0.6 V·s/rad
n0 = rpm
10.DC मोटरेंकठिन
+−220 VRst​ = ?Ra​ = 0.4 Ω50 AM+−E = 0n = 0T

एक 220 V DC मोटर का आर्मेचर प्रतिरोध 0.4 Ω है। वह श्रेणी प्रारंभिक प्रतिरोध Rst ज्ञात कीजिए जो प्रारंभिक धारा को 50 A तक सीमित करे।

V = 220 VRa = 0.4 ΩImax = 50 A
Rst = Ω

3विलयन

1.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: P = 20.67 kW

संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, VL = √3·Vph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, IL = √3·Iph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ।

फ़ेज़ वोल्टता

Vph = VL = 415 V

फ़ेज़ धारा

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
Iph = 415/15 = 27.67 A

कुल वास्तविक शक्ति

हर प्रतिबाधा का केवल प्रतिरोधी भाग वास्तविक शक्ति अवशोषित करता है।

P = 3·Iph²·R = 3·27.67²·9 = 20.67 kW

उत्तर

P = 20.67 kW

जाँच: cos φ = R/|Z| = 0.6, और √3·VL·IL·cos φ से वही शक्ति मिलती है।

2.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: QC = 82.98 kvar

संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, VL = √3·Vph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, IL = √3·Iph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, QC = P·(tan φ1 − tan φ2)। तीनों संधारित्रों में से हर एक QC/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में VL, Y बैंक में VL/√3।

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।

Q1 = 150·tan(acos 0.75) = 150·0.8819 = 132.3 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0.95) = 150·0.3287 = 49.3 kvar

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

QC = Q1 − Q2 = 82.98 kvar

उत्तर

QC = 82.98 kvar
3.ट्रांसफ़ॉर्मर

उत्तर: a = 5

आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर: वोल्टताएँ फेरों के अनुपात में और धाराएँ उसके व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a और I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, इसलिए निवेश शक्ति निर्गत शक्ति के बराबर होती है, V₁·I₁ = V₂·I₂। द्वितीयक पर लगी भार प्रतिबाधा Z प्राथमिक से a²·Z जैसी दिखती है।

स्थानांतरित भार का मिलान करें

a²·5 = 125
a = √(125/5) = √25 = 5

उत्तर

a = 5
4.ट्रांसफ़ॉर्मर

उत्तर: Pcu,fl = 1256 W

ट्रांसफ़ॉर्मर हानियाँ: क्रोड हानि (शैथिल्य और भँवर धाराएँ) वोल्टता पर निर्भर करती है और किसी भी भार पर समान रहती है। कुंडलियों में ताम्र हानि धारा के वर्ग के साथ बदलती है, इसलिए निर्धारित भार के x अंश पर यह x²·Pcu,fl होती है। दक्षता η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), जहाँ Pout = x·S·pf। दक्षता उस भार पर सबसे अधिक होती है जहाँ ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर होती है।

निर्गत और निवेश शक्ति

Pout = 75·0.8 = 60 kW
Pin = 60000/0.97 = 61856 W

कुल और ताम्र हानियाँ

Ploss = 61856 − 60000 = 1856 W
Pcu,fl = 1856 − 600 = 1256 W

उत्तर

Pcu,fl = 1256 W
5.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: Q = 3456 var

AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।

धारा

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 240/10 = 24 A

प्रतिघाती शक्ति

Q = I²·X = 24²·6 = 3456 var

उत्तर

Q = 3456 var
6.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: QC = 29.72 kvar

AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

सक्रिय शक्ति P नहीं बदलती; केवल आपूर्ति से ली गई प्रतिघाती शक्ति बदलती है।

Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(53.13°) = 46.67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(25.84°) = 16.95 kvar
QC = Q1 − Q2 = 29.72 kvar

उत्तर

QC = 29.72 kvar
7.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: cos φ = 0.7709

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

XL = 157.1 Ω, XC = 144.7 Ω

प्रतिबाधा

|Z| = √(15² + (12.39)²) = 19.46 Ω

शक्ति गुणांक

cos φ = R/|Z| = 15/19.46 = 0.7709
परिपथ प्रेरकीय है, इसलिए शक्ति गुणक पश्चगामी है।

उत्तर

cos φ = 0.7709
8.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: f0 = 239.9 Hz

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

अनुनाद

अनुनाद पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: ωL = 1/(ωC)। आपूर्ति आवृत्ति मायने नहीं रखती।

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.2·2.2·10⁻⁶)) = 239.9 Hz

उत्तर

f0 = 239.9 Hz
9.DC मोटरें

उत्तर: n0 = 1910 rpm

DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध Ra है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + Ia·Ra। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·Ia, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·Ia = T·ω है; निवेश शक्ति V·Ia है, और ताम्र हानि Ia²Ra तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − Ra·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/Ra पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/Ra बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।

अनिरोध चाल

ω₀ = V/k = 120/0.6 = 200 rad/s
n0 = 60·200/(2π) = 1910 rpm

उत्तर

n0 = 1910 rpm
10.DC मोटरें

उत्तर: Rst = 4 Ω

DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध Ra है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + Ia·Ra। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·Ia, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·Ia = T·ω है; निवेश शक्ति V·Ia है, और ताम्र हानि Ia²Ra तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − Ra·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/Ra पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/Ra बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।

कुल प्रतिरोध

Ra + Rst = 220/50 = 4.4 Ω

प्रारंभिक प्रतिरोधक

Rst = 4.4 − 0.4 = 4 Ω

उत्तर

Rst = 4 Ω

जैसे-जैसे मोटर की चाल बढ़ती है और back-EMF बढ़ता है, प्रतिरोधक को चरण-दर-चरण हटाया जाता है।

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