मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

आय जैसे धनात्मक रूप से विषम (positively skewed) बंटन में:

Aमाध्य माध्यिका से छोटा होता है
Bमाध्य और माध्यिका हमेशा बराबर होते हैं
Cकोई चरम अंक नहीं होते
Dमाध्य माध्यिका से बड़ा होता है

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता परखना चाहता है कि क्या नई शिक्षण विधि बेहतर ग्रेड का कारण बनती है, पर छात्रों को यादृच्छिक नहीं कर सकता। इस स्थिति में कौन-सा डिज़ाइन सबसे प्रबल कारण-संबंधी साक्ष्य देता है?

Aशिक्षण के बाद केवल नई विधि वाली कक्षा को मापना
Bग्रेड का इस बात से सहसंबंध निकालना कि छात्र शिक्षक को कितना पसंद करते हैं
Cतुलना समूह के साथ, पहले और बाद में मापी गई सुमेलित कक्षाओं की तुलना
Dछात्रों से पूछना कि क्या उन्हें लगता है कि विधि काम कर गई

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 60, 50, 14, 59, 18।

n = 5

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 40 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 60σ = 20x = 40

z =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.2, 0.1, 0.35

σ =

6.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 5X + 20। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.35, 0.25, 0.25Y = 5X + 20

σ_Y =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

सीमेंट की बोरियाँ के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 25 kg और मानक विचलन 0.5 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 12 का कुल द्रव्यमान 301.7 kg से कम है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 12< 301.7 kg

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 97.5% आते हैं (97.5वाँ शततमक)।

μ = 500σ = 40P = 97.5%

x = h

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

30 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 70.5 और मानक विचलन s = 14 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 30x̄ = 70.5s = 1495%t(29) = 2.045

निचली सीमा =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 25 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो?

σ = 25E = 2.599%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 60 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 57 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 16 mm है। लाइन 2: 100 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 48.2 mm, ज्ञात मानक विचलन 18 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

n₁ = 60x̄₁ = 57 mmσ₁ = 16 mmn₂ = 100x̄₂ = 48.2 mmσ₂ = 18 mm

z =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 95% शक्ति के साथ माध्य में 1.5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 10 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 95%δ = 1.5σ = 10z_α = 2.326z_β = 1.645

n =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5

r² =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (1.5, 46) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(1.5, 46)

e =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1202 × 3

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 1603 × 2α = 0.05

χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · माध्य माध्यिका से बड़ा होता है

यह उत्तर क्यों है

दाईं पुच्छ में कुछ बहुत ऊँचे मान माध्य को माध्यिका से ऊपर उठा देते हैं, इसीलिए विषम आँकड़ों के लिए अक्सर माध्यिका बताई जाती है।

उत्तर

D · माध्य माध्यिका से बड़ा होता है

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · तुलना समूह के साथ, पहले और बाद में मापी गई सुमेलित कक्षाओं की तुलना

यह उत्तर क्यों है

गैर-समतुल्य समूह पूर्व-परीक्षण–पश्च-परीक्षण डिज़ाइन प्रारंभिक अंतरों और समय के साथ परिवर्तन को नियंत्रित करता है, हालाँकि यह यादृच्छिक प्रयोग से कमज़ोर है।

उत्तर

C · तुलना समूह के साथ, पहले और बाद में मापी गई सुमेलित कक्षाओं की तुलना

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 22.48

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 201/5 = 40.2

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 19.8² + 9.8² + (−26.2)² + 18.8² + (−22.2)² = 2021

मानक विचलन

s = √(2021/4) = 22.48

उत्तर

s = 22.48

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −1

मानकीकृत करें

z = (40 − 60)/20 = −1

उत्तर

z = −1

5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.284

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.35 + 2·0.2 + 3·0.1 + 4·0.35 = 2.45

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.2 + 9·0.1 + 16·0.35 = 7.65

प्रसरण

Var(X) = 7.65 − 2.45² = 1.647

σ = √1.647 = 1.284

उत्तर

σ = 1.284

6.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 50.99

X का फैलाव

μ = 26, Var(X) = 104, σ_X = 10.2

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |5|·10.2 = 50.99

उत्तर

σ_Y = 50.99

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 5·26 + 20 = 150।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8365

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μ_T = 300 kg, σ_T = 0.5·√12 = 1.732 kg

मानकीकृत करें

z = (301.7 − 300)/1.732 = 0.98

प्रायिकता

P = Φ(0.98) = 0.8365

उत्तर

P = 0.8365

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 578.4 h

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

वापस x पर

x = 500 + 1.96·40 = 578.4 h

उत्तर

x = 578.4 h

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 65.27

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 29, t = 2.045

त्रुटि सीमा

E = 2.045·14/√30 = 5.227

अंतराल

70.5 ± 5.227 → [65.27, 75.73]

उत्तर

निचली सीमा = 65.27

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 664

n ज्ञात करें

n = (2.576·25/2.5)² = 663.6

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 664

उत्तर

n = 664

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = 3.212

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

अंतर की मानक त्रुटि

SE = √(16²/60 + 18²/100) = √7.507 = 2.74

परीक्षण सांख्यिकी

z = (57 − 48.2)/2.74 = 3.212

उत्तर

z = 3.212

|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 701

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 1.645)·10/1.5)² = 700.8

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 701

उत्तर

n = 701

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.8701

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 114/5 = 22.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 60.8

निर्धारण गुणांक

r² = −23²/(10·60.8) = 0.8701

उत्तर

r² = 0.8701

y के विचरण का लगभग 87.01% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −5.057

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 390/6 = 65

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122

समाश्रयण रेखा

b = 122/17.5 = 6.971

a = 65 − 6.971·3.5 = 40.6

ŷ = 40.6 + 6.971·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 40.6 + 6.971·1.5 = 51.06

अवशिष्ट

e = 46 − 51.06 = −5.057

उत्तर

e = −5.057

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 5

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

दिन की शिफ़्ट: 80·24/120 = 16, 80·36/120 = 24, 80·60/120 = 40

रात की शिफ़्ट: 40·24/120 = 8, 40·36/120 = 12, 40·60/120 = 20

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (20 − 16)²/16 + (25 − 24)²/24 + (35 − 40)²/40 + (4 − 8)²/8 + (11 − 12)²/12 + (25 − 20)²/20

χ² = 5

उत्तर

χ² = 5

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 15.11

अपेक्षित गणनाएँ

आयु 18–30: 30, 10

आयु 31–50: 45, 15

आयु 51+: 45, 15

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (36 − 30)²/30 + (4 − 10)²/10 + (49 − 45)²/45 + (11 − 15)²/15 + (35 − 45)²/45 + (25 − 15)²/15

χ² = 15.11

निर्णय

df = 2, χ²_crit = 5.991

15.11 > 5.991

उत्तर

χ² = 15.11

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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