मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

पारिस्थितिक वैधता का अर्थ है:

  1. Aनिष्कर्ष वास्तविक जीवन की स्थितियों पर कितनी अच्छी तरह सामान्यीकृत होते हैं
  2. Bपरीक्षण समय के साथ कितना संगत है
  3. Cक्या परीक्षण भावी व्यवहार की भविष्यवाणी करता है
  4. Dक्या परीक्षण सही चीज़ मापता हुआ दिखता है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक अध्ययन पाता है कि अधिक सोने वाले छात्रों के अंक अधिक होते हैं। कौन-सा डिज़ाइन परिवर्तन कारण-संबंधी निष्कर्ष की सबसे अच्छी अनुमति देगा?

  1. Aअधिक छात्रों का सर्वेक्षण करना
  2. Bछात्रों से अपनी नींद दो बार बताने को कहना और दोनों रिपोर्टों का औसत लेना
  3. Cछात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना
  4. Dअंकों को अधिक सटीकता से मापना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 41, 35, 11, 55, 39, 50, 43।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 64.8 से कम है?

μ = 60σ = 8x = 64.8
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.310.3520.35μ = 1.05

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35
σ =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)00.110.120.330.340.2μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 3X + 4। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.1, 0.3, 0.3, 0.2Y = 3X + 4
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
750 g762.3 gX + Y?

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 250 g और मानक विचलन 4 g है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 500 g और मानक विचलन 9 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 762.3 g से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 762.3 g
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
μ = 250x = ?80%

थैलों के भार माध्य 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 80% आते हैं (80वाँ शततमक)।

μ = 250σ = 5P = 80%
x = g
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 1.990%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 50

ज्ञात σ और 50 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 1.9 है। उन्हीं आँकड़ों से 95% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

90%n₁ = 50E₁ = 1.995%
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0299%

दोषपूर्ण उत्पादों के अनुपात के बारे में पहले से कुछ ज्ञात नहीं है। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.02 हो?

p = 0.5E = 0.0299%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−1.541.54p = ?

एक समष्टि का माध्य 250 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 5 ज्ञात है। 100 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 250.77 है। H₀: μ = 250 बनाम H₁: μ ≠ 250 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 250σ = 5n = 100x̄ = 250.77H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 500 बनाम H₁: μ > 500 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.05 पर 100 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 5 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 500.7 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 500μ = 500.7σ = 5n = 100α = 0.05
1 − β = %
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy154417411949216023602578xy152025406080

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy124222318414515xy24152025x = 4.5

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (4.5, 13) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(4.5, 13)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
कोई दोष नहींमामूलीगंभीरकुलदिन की शिफ़्ट442848120रात की शिफ़्ट284448120कुल727296240

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2402 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

2 पंक्तियों और 11 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.01 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.01
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · निष्कर्ष वास्तविक जीवन की स्थितियों पर कितनी अच्छी तरह सामान्यीकृत होते हैं

यह उत्तर क्यों है

पारिस्थितिक वैधता इस बारे में है कि क्या परिणाम रोज़मर्रा की स्थितियों पर लागू होते हैं। अत्यधिक नियंत्रित प्रयोगशाला अध्ययन इसमें प्रायः कम आँके जाते हैं।

उत्तर

A · निष्कर्ष वास्तविक जीवन की स्थितियों पर कितनी अच्छी तरह सामान्यीकृत होते हैं
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · छात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना

यह उत्तर क्यों है

केवल यादृच्छिक आवंटन के साथ नींद में हेरफेर ही तीसरे चरों को नियंत्रित करता है और नैतिक सीमाओं के भीतर कारण-संबंधी अनुमान की अनुमति देता है।

उत्तर

C · छात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.12

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 274/7 = 39.14

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 1.857² + (−4.143)² + (−28.14)² + 15.86² + (−0.1429)² + 10.86² + 3.857² = 1197

मानक विचलन

s = √(1197/6) = 14.12

उत्तर

s = 14.12
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.7257

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 0.6

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257

उत्तर

P = 0.7257
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 0.8047

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75

प्रसरण

Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047

उत्तर

σ = 0.8047
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 3.6

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 2.4, Var(X) = 1.44, σX = 1.2

रैखिक परिवर्तन

σY = |3|·1.2 = 3.6

उत्तर

σY = 3.6

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 3·2.4 + 4 = 11.2।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.1056

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

मानकीकृत करें

z = (762.3 − 750)/9.849 = 1.25

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056

उत्तर

P = 0.1056
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 254.2 g

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

वापस x पर

x = 250 + 0.8416·5 = 254.21 g

उत्तर

x = 254.21 g
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 2.264

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(50/50) = 1.191

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 1.9·1.191 = 2.264

उत्तर

E₂ = 2.264
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 4148

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 2.576²·0.5·0.5/0.02² = 4147

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 4148

उत्तर

n = 4148
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.1236

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 5/√100 = 0.5
z = (250.77 − 250)/0.5 = 1.54

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(1.54) = 0.9382
1 − Φ(1.54) = 0.0618

p-मान

p = 2·0.0618 = 0.1236

उत्तर

p = 0.1236

p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 40.32 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 5/√100 = 0.5
x̄c = 500 + 1.645·0.5 = 500.8

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (500.8 − 500.7)/0.5 = 0.245

शक्ति

शक्ति = P(Z > 0.245) = 40.32%
1 − β = 40.32%

उत्तर

1 − β = 40.32%
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.8689

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 332/6 = 55.33

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 238
Syy = Σ(y − ȳ)² = 931.3

निर्धारण गुणांक

r² = 238²/(70·931.3) = 0.8689

उत्तर

r² = 0.8689

y के विचरण का लगभग 86.89% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −1.7

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 93/5 = 18.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

समाश्रयण रेखा

b = −26/10 = −2.6
a = 18.6 − (−2.6)·3 = 26.4
ŷ = 26.4 − 2.6·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 26.4 + (−2.6)·4.5 = 14.7

अवशिष्ट

e = 13 − 14.7 = −1.7

उत्तर

e = −1.7

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 7.111

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

दिन की शिफ़्ट: 120·72/240 = 36, 120·72/240 = 36, 120·96/240 = 48
रात की शिफ़्ट: 120·72/240 = 36, 120·72/240 = 36, 120·96/240 = 48

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (44 − 36)²/36 + (28 − 36)²/36 + (48 − 48)²/48 + (28 − 36)²/36 + (44 − 36)²/36 + (48 − 48)²/48
χ² = 7.111

उत्तर

χ² = 7.111

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 23.21

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

तालिका

χ²crit(df = 10, α = 0.01) = 23.209

उत्तर

χ²crit = 23.209

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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