वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम
केवल अमेरिकी स्नातक छात्रों के साथ किए गए अध्ययन में किसकी कमी हो सकती है?
- Aआंतरिक संगति
- Bअंतर-मूल्यांकनकर्ता विश्वसनीयता
- Cविषयवस्तु वैधता
- Dजनसंख्या वैधता (population validity)
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन
किसी अध्ययन में प्रतिदर्श का आकार बढ़ाने से सबसे सीधे क्या होता है?
- Aप्रतिदर्श से हर पक्षपात हट जाता है
- Bप्रभाव का आकार बढ़ता है
- Cवास्तविक प्रभाव पकड़ने की सांख्यिकीय शक्ति बढ़ती है
- Dयदि कोई प्रभाव मौजूद हो तो सांख्यिकीय रूप से सार्थक परिणाम की गारंटी मिलती है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 54, 55, 26, 45, 43, 22, 28।
n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 118 से अधिक है?
μ = 100σ = 12x = 118
P =
5.प्रायिकतामध्यम
6 लोगों के समूह से 3 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।
n = 6k = 3
N =
6.प्रायिकताकठिन
एक खेल खेलने का मूल्य €3 है। आप प्रायिकता 0.1 से €6 जीतते हैं और प्रायिकता 0.02 से €150; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।
दाँव = €3€6: p = 0.1€150: p = 0.02
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 167.85 और 181.85 cm के बीच है? P को दशमलव में दें।
μ = 178σ = 7x1 = 167.85x2 = 181.85
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 97.5% आते हैं (97.5वाँ शततमक)।
μ = 178σ = 7P = 97.5%
x = cm
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
11 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 8.3 और मानक विचलन 0.7 है। माध्य अंतर के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।
n = 11d̄ = 8.3sd = 0.795%t(10) = 2.228
निचली सीमा = mmHg
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 11 प्लॉट, माध्य उपज 56 kg, मानक विचलन 9.5 kg। प्लॉट समूह 2: 10 प्लॉट, माध्य 65.5 kg, मानक विचलन 1 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।
n₁ = 11x̄₁ = 56s₁ = 9.5n₂ = 10x̄₂ = 65.5s₂ = 195%t(19) = 2.093
निचली सीमा = kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 60 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 140 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 7 mm है। लाइन 2: 80 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 134.8 mm, ज्ञात मानक विचलन 16 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
n₁ = 60x̄₁ = 140 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 80x̄₂ = 134.8 mmσ₂ = 16 mm
z =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो? मानक विचलन 20 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।
σ = 20E = 0.590%
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 5Σx = 15Σy = 305Σx² = 55Σy² = 18991Σxy = 974
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 7 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 5x = 7
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।
N = 1602 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
2 पंक्तियों और 11 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?
2 × 11
df =
3विलयन
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: D · जनसंख्या वैधता (population validity)
यह उत्तर क्यों है
जनसंख्या वैधता बाह्य वैधता का एक प्रकार है। अधिकतर युवा, पश्चिमी और शिक्षित प्रतिदर्श अन्य लोगों का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते।
उत्तर
D · जनसंख्या वैधता (population validity)
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: C · वास्तविक प्रभाव पकड़ने की सांख्यिकीय शक्ति बढ़ती है
यह उत्तर क्यों है
बड़े प्रतिदर्श मानक त्रुटि घटाकर शक्ति बढ़ाते हैं। वे वास्तविक प्रभाव-आकार नहीं बदलते और व्यवस्थित पक्षपात नहीं हटाते।
उत्तर
C · वास्तविक प्रभाव पकड़ने की सांख्यिकीय शक्ति बढ़ती है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 13.61
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 273/7 = 39
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = 15² + 16² + (−13)² + 6² + 4² + (−17)² + (−11)² = 1112
मानक विचलन
s = √(1112/6) = 13.61
उत्तर
s = 13.61
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.06681
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = 1.5
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
उत्तर
P = 0.06681
5.प्रायिकता
उत्तर: N = 20
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
संचय
C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20
उत्तर
N = 20
6.प्रायिकता
उत्तर: E(G) = 0.6 €
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
शुद्ध परिणाम
G: 3 (p = 0.1), 147 (p = 0.02), −3 (p = 0.88)
प्रत्याशित मान
E(G) = 3·0.1 + 147·0.02 − 3·0.88 = 0.6 €
उत्तर
E(G) = 0.6 €
धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।
7.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.6353
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
z-स्कोर
z₁ = (167.85 − 178)/7 = −1.45
z₂ = (181.85 − 178)/7 = 0.55
बीच का क्षेत्रफल
P = Φ(0.55) − Φ(−1.45) = 0.7088 − 0.07353 = 0.6353
उत्तर
P = 0.6353
8.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 191.7 cm
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
वापस x पर
x = 178 + 1.96·7 = 191.72 cm
उत्तर
x = 191.72 cm
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: निचली सीमा = 7.83 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
क्रांतिक मान
df = 10, t = 2.228
त्रुटि सीमा
E = 2.228·0.7/√11 = 0.4702
अंतराल
8.3 ± 0.4702 → [7.83, 8.77]
उत्तर
निचली सीमा = 7.83 mmHg
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: निचली सीमा = −15.83 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
संयुक्त मानक विचलन
sp² = (10·9.5² + 9·1²)/19 = 47.97
sp = 6.926
त्रुटि सीमा
E = 2.093·6.926·√(1/11 + 1/10) = 6.334
अंतराल
−9.5 ± 6.334 → [−15.83, −3.166]
उत्तर
निचली सीमा = −15.83 kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: z = 2.595
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
अंतर की मानक त्रुटि
SE = √(7²/60 + 16²/80) = √4.017 = 2.004
परीक्षण सांख्यिकी
z = (140 − 134.8)/2.004 = 2.595
उत्तर
z = 2.595
|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 4330
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
n ज्ञात करें
n = (1.645·20/0.5)² = 4330
ऊपर पूर्णांकित करें
n = 4330
उत्तर
n = 4330
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9496
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
केंद्रित योग
Sxy = 974 − 15·305/5 = 59
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 18991 − 305²/5 = 386
सहसंबंध गुणांक
r = 59/√(10·386) = 0.9496
उत्तर
r = 0.9496
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 63.45
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 300/5 = 60
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138
समाश्रयण रेखा
b = 138/40 = 3.45
a = 60 − 3.45·6 = 39.3
ŷ = 39.3 + 3.45·x
पूर्वानुमान
ŷ = 39.3 + 3.45·7 = 63.45
उत्तर
ŷ = 63.45
15.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 7.84
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
छात्र: 100·80/160 = 50, 100·40/160 = 25, 100·40/160 = 25
कर्मचारी: 60·80/160 = 30, 60·40/160 = 15, 60·40/160 = 15
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (43 − 50)²/50 + (32 − 25)²/25 + (25 − 25)²/25 + (37 − 30)²/30 + (8 − 15)²/15 + (15 − 15)²/15
χ² = 7.84
उत्तर
χ² = 7.84
df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।
16.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: df = 10
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
स्वातंत्र्य कोटि
df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10
उत्तर
df = 10
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