मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

प्रकार I त्रुटि तब होती है जब शोधकर्ता:

  1. Aअसत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार नहीं करता
  2. Bगलत सांख्यिकीय परीक्षण का उपयोग करता है
  3. Cबहुत अधिक डेटा एकत्र करता है
  4. Dऐसी शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करता है जो वास्तव में सत्य है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता दिखाना चाहता है कि नया चिंता स्केल अवसाद से भिन्न कुछ मापता है। अवसाद स्केल के साथ कम सहसंबंध किसका समर्थन करेंगे?

  1. Aभविष्यसूचक वैधता
  2. Bअभिसारी वैधता (convergent validity)
  3. Cआभासी वैधता
  4. Dविभेदक वैधता (discriminant validity)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
1520253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 41, 50, 42, 14, 53, 44।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 90 से कम है?

μ = 60σ = 20x = 90
P =
5.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2?3P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 3 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 3
P =
6.प्रायिकताकठिन
€p(x)−50.8200.152450.05

एक खेल खेलने का मूल्य €5 है। आप प्रायिकता 0.15 से €25 जीतते हैं और प्रायिकता 0.05 से €250; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €5€25: p = 0.15€250: p = 0.05
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.9678

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.9678 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.9678
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
μ = 500x = ?99%

बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 99% आते हैं (99वाँ शततमक)।

μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 6, s = 9.5LUx̄ = 64E = ?99%

6 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 64 और मानक विचलन s = 9.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 6x̄ = 64s = 9.599%t(5) = 4.032
E =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p ≈ 0.4, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0290%

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.4 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.02 हो?

p ≈ 0.4E = 0.0290%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −2.01102.011

49 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 501.7 और प्रतिदर्श मानक विचलन 10 है। H₀: μ = 500 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 500x̄ = 501.7s = 10n = 49
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0.05βσ = 20, शक्ति 95%, n = ?

α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 95% शक्ति के साथ माध्य में 3 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 20 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.05शक्ति = 95%δ = 3σ = 20zα = 1.645zβ = 1.645
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy185121622481279330102xy2025306080100

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 120Σy = 389Σx² = 2970Σy² = 32059Σxy = 9735
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy17971910821119231252513427145xy2025100120140ŷ = 140

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 140 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 140
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
सुधार हुआसुधार नहीं हुआकुलनई दवा661480प्लेसिबो122840कुल7842120

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1202 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 11 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 11
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · ऐसी शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करता है जो वास्तव में सत्य है

यह उत्तर क्यों है

प्रकार I त्रुटि ऐसे प्रभाव का दावा करती है जो मौजूद नहीं है। इसकी प्रायिकता सार्थकता स्तर (प्रायः 0.05) के बराबर होती है। प्रकार II त्रुटि वास्तविक प्रभाव को चूक जाती है।

उत्तर

D · ऐसी शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करता है जो वास्तव में सत्य है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · विभेदक वैधता (discriminant validity)

यह उत्तर क्यों है

विभेदक (अपसारी) वैधता तब दिखती है जब कोई माप भिन्न संरचनाओं के मापों के साथ कमज़ोर सहसंबंध रखता है। अभिसारी वैधता उसी संरचना के मापों के साथ उच्च सहसंबंध है।

उत्तर

D · विभेदक वैधता (discriminant validity)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 13.88

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 244/6 = 40.67

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 0.3333² + 9.333² + 1.333² + (−26.67)² + 12.33² + 3.333² = 963.3

मानक विचलन

s = √(963.3/5) = 13.88

उत्तर

s = 13.88
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.9332

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 1.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332

उत्तर

P = 0.9332
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.4213

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)3 = 0.5787
P = 1 − 0.5787 = 0.4213

उत्तर

P = 0.4213
6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 11.25 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 20 (p = 0.15), 245 (p = 0.05), −5 (p = 0.8)

प्रत्याशित मान

E(G) = 20·0.15 + 245·0.05 − 5·0.8 = 11.25 €

उत्तर

E(G) = 11.25 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = −1.85

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.9678 = 0.0322

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.0322 खोजें और z पढ़ें।

z = −1.85

उत्तर

z = −1.85
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 593.1 h

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

वापस x पर

x = 500 + 2.326·40 = 593.05 h

उत्तर

x = 593.05 h
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 15.64

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 5, t = 4.032

त्रुटि सीमा

E = 4.032·9.5/√6 = 15.64

उत्तर

E = 15.64
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 1624

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.645²·0.4·0.6/0.02² = 1624

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 1624

उत्तर

n = 1624
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.19

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429

परीक्षण सांख्यिकी

t = (501.7 − 500)/1.429 = 1.19

उत्तर

t = 1.19
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| < 2.011, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 482

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((1.645 + 1.645)·20/3)² = 481.1

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 482

उत्तर

n = 482
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9928

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 9735 − 120·389/5 = 399
Sxx = 2970 − 120²/5 = 90
Syy = 32059 − 389²/5 = 1795

सहसंबंध गुणांक

r = 399/√(90·1795) = 0.9928

उत्तर

r = 0.9928
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 26.03

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 728/6 = 121.3

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 324

समाश्रयण रेखा

b = 324/70 = 4.629
a = 121.3 − 4.629·22 = 19.5
ŷ = 19.5 + 4.629·x

x के लिए हल करें

x = (140 − 19.5)/4.629 = 26.03

उत्तर

x = 26.03
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 32.31

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

नई दवा: 80·78/120 = 52, 80·42/120 = 28
प्लेसिबो: 40·78/120 = 26, 40·42/120 = 14

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (66 − 52)²/52 + (14 − 28)²/28 + (12 − 26)²/26 + (28 − 14)²/14
χ² = 32.31

उत्तर

χ² = 32.31

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 10

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 11 − 1 = 10

उत्तर

df = 10

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