वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम
कौन-सा डिज़ाइन हर स्थिति में अलग प्रतिभागियों का उपयोग करता है?
- Aस्वतंत्र समूह डिज़ाइन
- Bअंतः-व्यक्ति डिज़ाइन
- Cउन्हीं लोगों के साथ मिलान-युग्म डिज़ाइन
- Dपुनरावृत्त माप डिज़ाइन
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन
ग्राउंडेड थ्योरी में आँकड़ा संग्रह कब तक चलता है?
- Aजब तक सैद्धांतिक संतृप्ति (theoretical saturation) न हो जाए और नए आँकड़े कोई नई श्रेणी न जोड़ें
- Bजब तक मूल परिकल्पना की पुष्टि न हो जाए
- Cजब तक 0.05 से कम p-मान न मिल जाए
- Dजब तक कम से कम 1,000 प्रतिभागियों का साक्षात्कार न हो जाए
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 11, 22, 43, 42, 55।
n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 25 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 537.5 से अधिक है?
μ = 500σ = 25x = 537.5
P =
5.प्रायिकतामध्यम
11 लोगों के समूह से 5 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।
n = 11k = 5
N =
6.प्रायिकताकठिन
X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 0.5X + 20। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.35, 0.2, 0.3Y = 0.5X + 20
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
X प्रसामान्य है जिसका माध्य 120 mm और मानक विचलन 0.3 mm है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 80 mm और मानक विचलन 0.4 mm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 201 mm से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।
μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 201 mm
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
बैटरी जीवनकाल औसत 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 90% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।
μ = 500 hσ = 40 h90%
x = h
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 50 फ़ोन, माध्य 91 h, ज्ञात मानक विचलन 6 h। मॉडल 2: 30 फ़ोन, माध्य 95.5 h, ज्ञात मानक विचलन 8 h। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।
n₁ = 50x̄₁ = 91 hσ₁ = 6 hn₂ = 30x̄₂ = 95.5 hσ₂ = 8 h90%
ऊपरी सीमा = h
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.4 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.02 हो?
p ≈ 0.4E = 0.0295%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
81 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 103.8 और प्रतिदर्श मानक विचलन 20 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।
μ₀ = 100x̄ = 103.8s = 20n = 81
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
25 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 194.2 है। समष्टि मानक विचलन 10 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।
x̄ = 194.2σ = 10n = 2595%
U =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।
n = 6
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (7, 26) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।
n = 6(7, 26)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “ग्रामीण, निम्न” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।
पंक्ति योग = 118स्तंभ योग = 81N = 228
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।
N = 2203 × 2α = 0.01
χ² =
3विलयन
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: A · स्वतंत्र समूह डिज़ाइन
यह उत्तर क्यों है
स्वतंत्र समूह डिज़ाइन में हर स्थिति के अलग प्रतिभागी होते हैं; इससे क्रम प्रभाव टलते हैं, पर प्रतिभागी चरों का जोखिम रहता है।
उत्तर
A · स्वतंत्र समूह डिज़ाइन
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: A · जब तक सैद्धांतिक संतृप्ति (theoretical saturation) न हो जाए और नए आँकड़े कोई नई श्रेणी न जोड़ें
यह उत्तर क्यों है
ग्राउंडेड थ्योरी आगमनात्मक रूप से सिद्धांत विकसित करती है, आँकड़ों का संग्रह और कोडिंग साथ-साथ करती है, और जब नए आँकड़े श्रेणियों को आगे विकसित नहीं करते तो प्रतिचयन रोक देती है।
उत्तर
A · जब तक सैद्धांतिक संतृप्ति (theoretical saturation) न हो जाए और नए आँकड़े कोई नई श्रेणी न जोड़ें
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 17.73
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 173/5 = 34.6
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−23.6)² + (−12.6)² + 8.4² + 7.4² + 20.4² = 1257
मानक विचलन
s = √(1257/4) = 17.73
उत्तर
s = 17.73
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.06681
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = 1.5
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
उत्तर
P = 0.06681
5.प्रायिकता
उत्तर: N = 462
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
संचय
C(11, 5) = (11·10·9·8·7)/(5·4·3·2·1) = 462
उत्तर
N = 462
6.प्रायिकता
उत्तर: σY = 5.309
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
X का फैलाव
μ = 26.5, Var(X) = 112.8, σX = 10.62
रैखिक परिवर्तन
σY = |0.5|·10.62 = 5.309
उत्तर
σY = 5.309
माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 0.5·26.5 + 20 = 33.25।
7.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.02275
प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।
योग का बंटन
μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm
मानकीकृत करें
z = (201 − 200)/0.5 = 2
ऊपरी पुच्छ
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275
उत्तर
P = 0.02275
8.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 551 h
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 0.9
सारणी से z
z ≈ 1.28
मूल इकाइयों में वापस
x = 500 + 1.28·40 = 551 h
उत्तर
x = 551 h
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: ऊपरी सीमा = −1.721 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
बिंदु अनुमान
x̄₁ − x̄₂ = 91 − 95.5 = −4.5
मानक त्रुटि
SE = √(6²/50 + 8²/30) = 1.689
त्रुटि सीमा
E = 1.645·1.689 = 2.779
अंतराल
−4.5 ± 2.779 → [−7.279, −1.721]
उत्तर
ऊपरी सीमा = −1.721 h
अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 2305
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n ज्ञात करें
n = 1.96²·0.4·0.6/0.02² = 2305
ऊपर पूर्णांकित करें
n = 2305
उत्तर
n = 2305
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = 1.71
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
मानक त्रुटि
SE = 20/√81 = 20/9 = 2.222
परीक्षण सांख्यिकी
t = (103.8 − 100)/2.222 = 1.71
उत्तर
t = 1.71
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: U = 198.1
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
त्रुटि सीमा
E = 1.96·10/√25 = 3.92
अंतराल सीमा
U = 194.2 + 3.92 = 198.1
उत्तर
U = 198.1
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r² = 0.9155
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 121/6 = 20.17
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 140.8
निर्धारण गुणांक
r² = −47.5²/(17.5·140.8) = 0.9155
उत्तर
r² = 0.9155
y के विचरण का लगभग 91.55% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: e = −2
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 168/6 = 28
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 262
समाश्रयण रेखा
b = 262/70 = 3.743
a = 28 − 3.743·7 = 1.8
ŷ = 1.8 + 3.743·x
पूर्वानुमानित मान
ŷ = 1.8 + 3.743·7 = 28
अवशिष्ट
e = 26 − 28 = −2
उत्तर
e = −2
बिंदु रेखा के नीचे है।
15.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: E = 41.92
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणना
E = 118·81/228 = 41.92
उत्तर
E = 41.92
16.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 8.869
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
आयु 18–30: 56, 24
आयु 31–50: 42, 18
आयु 51+: 56, 24
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (52 − 56)²/56 + (28 − 24)²/24 + (51 − 42)²/42 + (9 − 18)²/18 + (51 − 56)²/56 + (29 − 24)²/24
χ² = 8.869
निर्णय
df = 2, χ²crit = 9.210
8.869 < 9.210
उत्तर
χ² = 8.869
χ² क्रांतिक मान से कम है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है: संबंध का कोई सार्थक प्रमाण नहीं है।
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