वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम
अवलोकन में व्यवहार श्रेणियों को आँकड़े एकत्र करने से पहले संक्रियात्मक रूप से परिभाषित क्यों किया जाता है?
- Aताकि अवलोकन एक प्रयोग बन जाए
- Bताकि प्रतिभागी ठीक-ठीक जानें कि क्या दर्ज हो रहा है
- Cताकि आँकड़े देखने के बाद परिकल्पना बदली जा सके
- Dताकि पर्यवेक्षक एक ही व्यवहार लगातार दर्ज करें, जिससे विश्वसनीयता सुधरे
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन
एक शोधकर्ता दिखाना चाहता है कि नया चिंता स्केल अवसाद से भिन्न कुछ मापता है। अवसाद स्केल के साथ कम सहसंबंध किसका समर्थन करेंगे?
- Aआभासी वैधता
- Bभविष्यसूचक वैधता
- Cविभेदक वैधता (discriminant validity)
- Dअभिसारी वैधता (convergent validity)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 17, 14, 19, 57, 32।
n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 70 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 55 से अधिक है?
μ = 70σ = 10x = 55
P =
5.प्रायिकतामध्यम
एक निष्पक्ष पासा 7 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?
n = 7
P =
6.प्रायिकताकठिन
X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 0.5X + 1। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.35, 0.1, 0.25Y = 0.5X + 1
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.9678 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
A = 0.9678
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
थैलों के भार माध्य 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 75% आते हैं (75वाँ शततमक)।
μ = 250σ = 5P = 75%
x = g
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
20 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 15 और मानक विचलन s = 17 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।
n = 20x̄ = 15s = 1799%t(19) = 2.861
ऊपरी सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
समष्टि मानक विचलन 26 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1 हो?
σ = 26E = 195%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
13 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 2.17 और अंतरों का मानक विचलन 7.1 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।
n = 13d̄ = 2.17sd = 7.1
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
एक परीक्षण में उपचार A वाले 200 में से 90 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 150 में से 90 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
x₁ = 90n₁ = 200x₂ = 90n₂ = 150
z =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 6Σx = 21Σy = 119Σx² = 91Σy² = 2447Σxy = 379
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 62 का पूर्वानुमान देती है?
n = 6ŷ = 62
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।
N = 802 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
3 पंक्तियों और 3 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।
α = 0.05
χ²crit =
3विलयन
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: D · ताकि पर्यवेक्षक एक ही व्यवहार लगातार दर्ज करें, जिससे विश्वसनीयता सुधरे
यह उत्तर क्यों है
स्पष्ट, अवलोकनीय श्रेणियाँ (जैसे "खुले हाथ से मारना") व्यक्तिपरक निर्णय घटाती हैं और अंतर-पर्यवेक्षक विश्वसनीयता बढ़ाती हैं।
उत्तर
D · ताकि पर्यवेक्षक एक ही व्यवहार लगातार दर्ज करें, जिससे विश्वसनीयता सुधरे
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: C · विभेदक वैधता (discriminant validity)
यह उत्तर क्यों है
विभेदक (अपसारी) वैधता तब दिखती है जब कोई माप भिन्न संरचनाओं के मापों के साथ कमज़ोर सहसंबंध रखता है। अभिसारी वैधता उसी संरचना के मापों के साथ उच्च सहसंबंध है।
उत्तर
C · विभेदक वैधता (discriminant validity)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 17.71
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 139/5 = 27.8
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−10.8)² + (−13.8)² + (−8.8)² + 29.2² + 4.2² = 1255
मानक विचलन
s = √(1255/4) = 17.71
उत्तर
s = 17.71
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.9332
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = −1.5
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
उत्तर
P = 0.9332
5.प्रायिकता
उत्तर: P = 0.7209
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
पूरक
P(छक्का नहीं) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209
उत्तर
P = 0.7209
6.प्रायिकता
उत्तर: σY = 1.145
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
X का फैलाव
μ = 2.6, Var(X) = 5.24, σX = 2.289
रैखिक परिवर्तन
σY = |0.5|·2.289 = 1.145
उत्तर
σY = 1.145
माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 0.5·2.6 + 1 = 2.3।
7.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: z = −1.85
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
z के बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 1 − 0.9678 = 0.0322
z-सारणी को उलटा पढ़ें
सारणी के भीतर 0.0322 खोजें और z पढ़ें।
z = −1.85
उत्तर
z = −1.85
8.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 253.4 g
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
वापस x पर
x = 250 + 0.6745·5 = 253.37 g
उत्तर
x = 253.37 g
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: ऊपरी सीमा = 25.88
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
क्रांतिक मान
df = n − 1 = 19, t = 2.861
त्रुटि सीमा
E = 2.861·17/√20 = 10.88
अंतराल
15 ± 10.88 → [4.124, 25.88]
उत्तर
ऊपरी सीमा = 25.88
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 2597
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = (1.96·26/1)² = 2597
ऊपर पूर्णांकित करें
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
n = 2597
उत्तर
n = 2597
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = 1.102
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
माध्य अंतर की मानक त्रुटि
SE = 7.1/√13 = 1.969
परीक्षण सांख्यिकी
t = 2.17/1.969 = 1.102
उत्तर
t = 1.102
df = 12 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.179 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: z = −2.779
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
प्रतिदर्श अनुपात
p̂₁ = 90/200 = 0.45
p̂₂ = 90/150 = 0.6
p̂ = 180/350 = 0.5143
H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि
SE = √(0.5143·0.4857·(1/200 + 1/150)) = 0.05398
परीक्षण सांख्यिकी
z = (0.45 − 0.6)/0.05398 = −2.779
उत्तर
z = −2.779
|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = −0.962
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
केंद्रित योग
Sxy = 379 − 21·119/6 = −37.5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 2447 − 119²/6 = 86.83
सहसंबंध गुणांक
r = −37.5/√(17.5·86.83) = −0.962
उत्तर
r = −0.962
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: x = 2.475
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 456/6 = 76
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 121
समाश्रयण रेखा
b = 121/17.5 = 6.914
a = 76 − 6.914·4.5 = 44.89
ŷ = 44.89 + 6.914·x
x के लिए हल करें
x = (62 − 44.89)/6.914 = 2.475
उत्तर
x = 2.475
15.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 2.143
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
नई दवा: 40·24/80 = 12, 40·56/80 = 28
प्लेसिबो: 40·24/80 = 12, 40·56/80 = 28
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (15 − 12)²/12 + (25 − 28)²/28 + (9 − 12)²/12 + (31 − 28)²/28
χ² = 2.143
उत्तर
χ² = 2.143
df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।
16.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ²crit = 9.488
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
स्वातंत्र्य कोटि
df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4
तालिका
χ²crit(df = 4, α = 0.05) = 9.488
उत्तर
χ²crit = 9.488
यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।
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