मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

जब आँकड़े क्रमसूचक हों या स्पष्ट रूप से सामान्य न हों, तो कौन-सा परीक्षण दो स्वतंत्र समूहों की तुलना करता है?

  1. Aविलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण
  2. Bमान–व्हिटनी U परीक्षण
  3. Cकाई-वर्ग परीक्षण
  4. Dस्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

कई शोधकर्ता क्यों तर्क देते हैं कि p-मानों को प्रभाव-आकार और विश्वास्यता अंतराल के साथ बताया जाना चाहिए?

  1. Aविश्वास्यता अंतराल केवल गुणात्मक शोध में आवश्यक हैं
  2. Bp-मान परिकल्पना के सत्य होने की प्रायिकता दिखाते हैं
  3. Cप्रभाव-आकार प्रतिदर्श आकार को सार्थकता के लिए अप्रासंगिक बना देते हैं
  4. Dp-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
15202530354045

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 24, 23, 49, 14, 33, 43, 40।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 100 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 380 से अधिक है?

μ = 500σ = 100x = 380
P =
5.प्रायिकतामध्यम
लाल: 6नीली: 7

एक थैले में 6 लाल और 7 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

6 / 7
P =
6.प्रायिकताकठिन
€p(x)−30.8860.1570.02

एक खेल खेलने का मूल्य €3 है। आप प्रायिकता 0.1 से €9 जीतते हैं और प्रायिकता 0.02 से €60; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €3€9: p = 0.1€60: p = 0.02
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
172.4181.85P = ?

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 172.4 और 181.85 cm के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 178σ = 7x1 = 172.4x2 = 181.85
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
557085100115130145अंकनीचे 70%

IQ अंक औसत 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 70% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 100 अंकσ = 15 अंक70%
x = अंक
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 30 फ़ोन, माध्य 127.5 h, ज्ञात मानक विचलन 14 h। मॉडल 2: 100 फ़ोन, माध्य 125 h, ज्ञात मानक विचलन 14 h। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 30x̄₁ = 127.5 hσ₁ = 14 hn₂ = 100x̄₂ = 125 hσ₂ = 14 h95%
E = h
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0195%

दोषपूर्ण उत्पादों के अनुपात के बारे में पहले से कुछ ज्ञात नहीं है। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.01 हो?

p = 0.5E = 0.0195%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.5712.571t = ?df = 5

6 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 5.68 और अंतरों का मानक विचलन 5.8 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 6d̄ = 5.68sd = 5.8
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1.5α = 0.01βσ = 11, शक्ति 80%, n = ?

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 1.5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 11 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 80%δ = 1.5σ = 11zα = 2.326zβ = 0.842
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy2441061081710161221xy5101020

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 42Σy = 78Σx² = 364Σy² = 1202Σxy = 656
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy130225327421521xy242530x = 4.5

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (4.5, 25) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(4.5, 25)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
बससाइकिलकारकुलछात्र11301960कर्मचारी255144120कुल368163180

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1802 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

2 पंक्तियों और 4 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · मान–व्हिटनी U परीक्षण

यह उत्तर क्यों है

मान–व्हिटनी U परीक्षण दो असंबंधित समूहों के बीच कोटियों की तुलना करता है। विलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण संबंधित प्रतिदर्शों के लिए है।

उत्तर

B · मान–व्हिटनी U परीक्षण
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · p-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है

यह उत्तर क्यों है

p-मान प्रतिदर्श आकार पर बहुत निर्भर करता है और केवल यह बताता है कि शून्य परिकल्पना के अंतर्गत आँकड़े कितने आश्चर्यजनक हैं। प्रभाव-आकार परिमाण दिखाते हैं और अंतराल परिशुद्धता।

उत्तर

D · p-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.54

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 226/7 = 32.29

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−8.286)² + (−9.286)² + 16.71² + (−18.29)² + 0.7143² + 10.71² + 7.714² = 943.4

मानक विचलन

s = √(943.4/6) = 12.54

उत्तर

s = 12.54
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.8849

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −1.2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849

उत्तर

P = 0.8849
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.1923

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0.1923

उत्तर

P = 0.1923
6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = −0.9 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 6 (p = 0.1), 57 (p = 0.02), −3 (p = 0.88)

प्रत्याशित मान

E(G) = 6·0.1 + 57·0.02 − 3·0.88 = −0.9 €

उत्तर

E(G) = −0.9 €

ऋणात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आपका पैसा घटता है।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.497

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (172.4 − 178)/7 = −0.8
z₂ = (181.85 − 178)/7 = 0.55

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.55) − Φ(−0.8) = 0.7088 − 0.2119 = 0.497

उत्तर

P = 0.497
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 107.8 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.7

सारणी से z

z ≈ 0.52

मूल इकाइयों में वापस

x = 100 + 0.52·15 = 107.8 अंक

उत्तर

x = 107.8 अंक
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 5.712 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 127.5 − 125 = 2.5

मानक त्रुटि

SE = √(14²/30 + 14²/100) = 2.914

त्रुटि सीमा

E = 1.96·2.914 = 5.712

उत्तर

E = 5.712 h

अंतराल में 0 है, इसलिए आँकड़े कोई सार्थक अंतर नहीं दिखाते।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 9604

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.96²·0.5·0.5/0.01² = 9604

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 9604

उत्तर

n = 9604
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.399

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 5.8/√6 = 2.368

परीक्षण सांख्यिकी

t = 5.68/2.368 = 2.399

उत्तर

t = 2.399

df = 5 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.571 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 540

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 0.842)·11/1.5)² = 539.7

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 540

उत्तर

n = 540
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9589

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 656 − 42·78/6 = 110
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1202 − 78²/6 = 188

सहसंबंध गुणांक

r = 110/√(70·188) = 0.9589

उत्तर

r = 0.9589
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 3.5

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 124/5 = 24.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

समाश्रयण रेखा

b = −22/10 = −2.2
a = 24.8 − (−2.2)·3 = 31.4
ŷ = 31.4 − 2.2·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 31.4 + (−2.2)·4.5 = 21.5

अवशिष्ट

e = 25 − 21.5 = 3.5

उत्तर

e = 3.5

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 0.9107

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

छात्र: 60·36/180 = 12, 60·81/180 = 27, 60·63/180 = 21
कर्मचारी: 120·36/180 = 24, 120·81/180 = 54, 120·63/180 = 42

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (11 − 12)²/12 + (30 − 27)²/27 + (19 − 21)²/21 + (25 − 24)²/24 + (51 − 54)²/54 + (44 − 42)²/42
χ² = 0.9107

उत्तर

χ² = 0.9107

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 7.815

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

तालिका

χ²crit(df = 3, α = 0.05) = 7.815

उत्तर

χ²crit = 7.815

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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