वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम
एक शोधकर्ता स्मृति अंकों पर लिंग के प्रभाव का अध्ययन करता है। यह वास्तविक प्रयोग के बजाय अर्ध-प्रयोग (quasi-experiment) क्यों है?
- ADV मापा नहीं जाता
- Bअध्ययन प्रयोगशाला में होता है
- Cकेवल दो स्थितियाँ हैं, और वास्तविक प्रयोग के लिए IV के कम से कम तीन स्तर चाहिए
- DIV एक पूर्व-विद्यमान विशेषता है, इसलिए प्रतिभागियों को उसमें यादृच्छिक रूप से आवंटित नहीं किया जा सकता
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन
व्यायाम अवसाद घटाता है, और यह प्रभाव इसलिए होता है क्योंकि व्यायाम नींद सुधारता है, जो बदले में अवसाद घटाती है। नींद का सबसे अच्छा वर्णन क्या है?
- Aसंयमक (moderator)
- Bनियंत्रण चर
- Cबाह्य चर
- Dमध्यस्थ (mediator)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 16, 19, 16, 39, 25, 45।
n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
परीक्षा अंक माध्य 100 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 120 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।
μ = 100σ = 10x = 120
z =
5.प्रायिकतामध्यम
दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.15, 0.25, 0.3
σ =
6.प्रायिकताकठिन
एक खेल खेलने का मूल्य €3 है। आप प्रायिकता 0.1 से €12 जीतते हैं और प्रायिकता 0.01 से €30; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।
दाँव = €3€12: p = 0.1€30: p = 0.01
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 55 और 85.5 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।
μ = 65σ = 10x1 = 55x2 = 85.5
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 90% आते हैं (90वाँ शततमक)।
μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
ज्ञात σ और 36 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 5.4 है। 9 प्रेक्षणों पर आधारित 90% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?
95%n₁ = 36E₁ = 5.490%n₂ = 9
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 7 प्लॉट, माध्य उपज 94 kg, मानक विचलन 4 kg। प्लॉट समूह 2: 10 प्लॉट, माध्य 87.5 kg, मानक विचलन 4.5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
n₁ = 7x̄₁ = 94s₁ = 4n₂ = 10x̄₂ = 87.5s₂ = 4.590%t(15) = 1.753
E = kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
7 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 2.18 और अंतरों का मानक विचलन 4.8 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।
n = 7d̄ = 2.18sd = 4.8
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
एक परीक्षण में उपचार A वाले 250 में से 113 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 300 में से 150 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
x₁ = 113n₁ = 250x₂ = 150n₂ = 300
z =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 4.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 6x = 4.5
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।
N = 1802 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 5 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.01 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।
α = 0.01
χ²crit =
3विलयन
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: D · IV एक पूर्व-विद्यमान विशेषता है, इसलिए प्रतिभागियों को उसमें यादृच्छिक रूप से आवंटित नहीं किया जा सकता
यह उत्तर क्यों है
अर्ध-प्रयोग में IV लोगों के बीच स्वाभाविक रूप से होने वाला अंतर है। यादृच्छिक आवंटन के बिना समूहों के बीच अन्य अंतर परिणामों को भ्रमित कर सकते हैं।
उत्तर
D · IV एक पूर्व-विद्यमान विशेषता है, इसलिए प्रतिभागियों को उसमें यादृच्छिक रूप से आवंटित नहीं किया जा सकता
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: D · मध्यस्थ (mediator)
यह उत्तर क्यों है
मध्यस्थ भविष्यवक्ता और परिणाम के बीच कारण-मार्ग पर स्थित होता है, यह समझाते हुए कि प्रभाव कैसे या क्यों होता है।
उत्तर
D · मध्यस्थ (mediator)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 12.47
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 160/6 = 26.67
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−10.67)² + (−7.667)² + (−10.67)² + 12.33² + (−1.667)² + 18.33² = 777.3
मानक विचलन
s = √(777.3/5) = 12.47
उत्तर
s = 12.47
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: z = 2
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = (120 − 100)/10 = 2
उत्तर
z = 2
5.प्रायिकता
उत्तर: σ = 2.406
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य
μ = 0·0.3 + 2·0.15 + 4·0.25 + 6·0.3 = 3.1
वर्गों का माध्य
E(X²) = 0·0.3 + 4·0.15 + 16·0.25 + 36·0.3 = 15.4
प्रसरण
Var(X) = 15.4 − 3.1² = 5.79
σ = √5.79 = 2.406
उत्तर
σ = 2.406
6.प्रायिकता
उत्तर: E(G) = −1.5 €
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
शुद्ध परिणाम
G: 9 (p = 0.1), 27 (p = 0.01), −3 (p = 0.89)
प्रत्याशित मान
E(G) = 9·0.1 + 27·0.01 − 3·0.89 = −1.5 €
उत्तर
E(G) = −1.5 €
ऋणात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आपका पैसा घटता है।
7.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.8212
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
z-स्कोर
z₁ = (55 − 65)/10 = −1
z₂ = (85.5 − 65)/10 = 2.05
बीच का क्षेत्रफल
P = Φ(2.05) − Φ(−1) = 0.9798 − 0.1587 = 0.8212
उत्तर
P = 0.8212
8.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 551.3 h
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
वापस x पर
x = 500 + 1.282·40 = 551.26 h
उत्तर
x = 551.26 h
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E₂ = 9.064
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
त्रुटि सीमाओं का अनुपात
E₂/E₁ = (1.645/1.96)·√(36/9) = 1.679
नई त्रुटि सीमा
E₂ = 5.4·1.679 = 9.064
उत्तर
E₂ = 9.064
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 3.721 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
संयुक्त मानक विचलन
sp² = (6·4² + 9·4.5²)/15 = 18.55
sp = 4.307
त्रुटि सीमा
E = 1.753·4.307·√(1/7 + 1/10) = 3.721
उत्तर
E = 3.721 kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = 1.202
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
माध्य अंतर की मानक त्रुटि
SE = 4.8/√7 = 1.814
परीक्षण सांख्यिकी
t = 2.18/1.814 = 1.202
उत्तर
t = 1.202
df = 6 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.447 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: z = −1.122
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
प्रतिदर्श अनुपात
p̂₁ = 113/250 = 0.452
p̂₂ = 150/300 = 0.5
p̂ = 263/550 = 0.4782
H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि
SE = √(0.4782·0.5218·(1/250 + 1/300)) = 0.04278
परीक्षण सांख्यिकी
z = (0.452 − 0.5)/0.04278 = −1.122
उत्तर
z = −1.122
|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9905
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 425/5 = 85
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 459
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2386
सहसंबंध गुणांक
r = 459/√(90·2386) = 0.9905
उत्तर
r = 0.9905
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 33.33
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 200/6 = 33.33
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53
समाश्रयण रेखा
b = 53/17.5 = 3.029
a = 33.33 − 3.029·4.5 = 19.7
ŷ = 19.7 + 3.029·x
पूर्वानुमान
ŷ = 19.7 + 3.029·4.5 = 33.33
उत्तर
ŷ = 33.33
15.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 2.679
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
पुरुष: 80·54/180 = 24, 80·126/180 = 56
महिलाएँ: 100·54/180 = 30, 100·126/180 = 70
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (19 − 24)²/24 + (61 − 56)²/56 + (35 − 30)²/30 + (65 − 70)²/70
χ² = 2.679
उत्तर
χ² = 2.679
df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।
16.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ²crit = 11.35
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
स्वातंत्र्य कोटि
df = 5 − 1 − 1 = 3
तालिका
χ²crit(df = 3, α = 0.01) = 11.345
उत्तर
χ²crit = 11.345
यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology