मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

साक्षात्कार में खुले प्रश्न से किस प्रकार के आँकड़े मिलते हैं?

  1. Aअनुपात आँकड़े
  2. Bगुणात्मक आँकड़े
  3. Cकेवल नामिक मात्रात्मक आँकड़े
  4. Dअंतराल आँकड़े
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता उदास फ़िल्म दिखाकर मनोदशा में हेरफेर करता है, फिर मुख्य कार्य से पहले प्रतिभागियों से पूछता है कि वे कितना उदास महसूस करते हैं। यह रेटिंग क्यों शामिल की गई है?

  1. Aस्थितियों के क्रम का प्रति-संतुलन करने के लिए
  2. Bप्रतिभागियों को उद्देश्यों के बारे में डीब्रीफ़ करने के लिए
  3. Cअध्ययन के मुख्य आश्रित चर के रूप में
  4. Dहेरफेर जाँच (manipulation check) के रूप में, यह पुष्टि करने के लिए कि IV ने इच्छित रूप से काम किया
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
202530354045505560

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 60, 17, 37, 55, 60, 17।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 10 से कम है?

μ = 50σ = 20x = 10
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.3510.3520.3μ = 0.95

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3
σ =
6.प्रायिकताकठिन
€p(x)−100.83200.15900.02

एक खेल खेलने का मूल्य €10 है। आप प्रायिकता 0.15 से €30 जीतते हैं और प्रायिकता 0.02 से €100; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €10€30: p = 0.15€100: p = 0.02
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
55.580P = ?

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 55.5 और 80 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 65σ = 10x1 = 55.5x2 = 80
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
μ = 500x = ?80%

बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 80% आते हैं (80वाँ शततमक)।

μ = 500σ = 40P = 80%
x = h
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 2.590%, n = 100x̄E₂ = ?90%, n = 25

ज्ञात σ और 100 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 2.5 है। यदि वही अध्ययन इसके बजाय 25 प्रेक्षणों का उपयोग करे, तो त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

90%n₁ = 100E₁ = 2.5n₂ = 25
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p ≈ 0.4, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0390%

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.4 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.03 हो?

p ≈ 0.4E = 0.0390%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −2.01102.011

49 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 501 और प्रतिदर्श मानक विचलन 10 है। H₀: μ = 500 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 500x̄ = 501s = 10n = 49
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 4α = 0.01βσ = 14, शक्ति 80%, n = ?

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 4 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 14 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 80%δ = 4σ = 14zα = 2.326zβ = 0.842
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy17832093231172612729142xy20253080100120140

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy2641061782410271234xy510102030ŷ = 14

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 14 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 14
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
कोई दोष नहींमामूलीगंभीरकुलदिन की शिफ़्ट10284280रात की शिफ़्ट1481840कुल243660120

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1202 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
उत्तीर्णअनुत्तीर्णकुलआयु 18–30194160आयु 31–50243660आयु 51+53540कुल48112160dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 1603 × 2α = 0.01
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · गुणात्मक आँकड़े

यह उत्तर क्यों है

खुले प्रश्न समृद्ध गुणात्मक आँकड़े देते हैं, जिनका सांख्यिकीय विश्लेषण बंद प्रश्नों के उत्तरों की तुलना में कठिन होता है।

उत्तर

B · गुणात्मक आँकड़े
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · हेरफेर जाँच (manipulation check) के रूप में, यह पुष्टि करने के लिए कि IV ने इच्छित रूप से काम किया

यह उत्तर क्यों है

हेरफेर जाँच सत्यापित करती है कि IV ने इच्छित मनोवैज्ञानिक अवस्था उत्पन्न की। इसके बिना शून्य परिणाम का अर्थ यह हो सकता है कि हेरफेर विफल रहा।

उत्तर

D · हेरफेर जाँच (manipulation check) के रूप में, यह पुष्टि करने के लिए कि IV ने इच्छित रूप से काम किया
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 20.43

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 246/6 = 41

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 19² + (−24)² + (−4)² + 14² + 19² + (−24)² = 2086

मानक विचलन

s = √(2086/5) = 20.43

उत्तर

s = 20.43
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.02275

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 0.8047

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

प्रसरण

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047

उत्तर

σ = 0.8047
6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = −3.5 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 20 (p = 0.15), 90 (p = 0.02), −10 (p = 0.83)

प्रत्याशित मान

E(G) = 20·0.15 + 90·0.02 − 10·0.83 = −3.5 €

उत्तर

E(G) = −3.5 €

ऋणात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आपका पैसा घटता है।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7621

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (55.5 − 65)/10 = −0.95
z₂ = (80 − 65)/10 = 1.5

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.5) − Φ(−0.95) = 0.9332 − 0.1711 = 0.7621

उत्तर

P = 0.7621
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 533.7 h

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

वापस x पर

x = 500 + 0.8416·40 = 533.66 h

उत्तर

x = 533.66 h
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 5

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(100/25) = 2

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 2.5·2 = 5

उत्तर

E₂ = 5
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 722

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.645²·0.4·0.6/0.03² = 721.6

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 722

उत्तर

n = 722
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 0.7

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429

परीक्षण सांख्यिकी

t = (501 − 500)/1.429 = 0.7

उत्तर

t = 0.7
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| < 2.011, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 123

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 0.842)·14/4)² = 122.9

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 123

उत्तर

n = 123
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9826

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 562/5 = 112.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 456
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2351

निर्धारण गुणांक

r² = 456²/(90·2351) = 0.9826

उत्तर

r² = 0.9826

y के विचरण का लगभग 98.26% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 4.997

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 118/6 = 19.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 198

समाश्रयण रेखा

b = 198/70 = 2.829
a = 19.67 − 2.829·7 = −0.1333
ŷ = −0.1333 + 2.829·x

x के लिए हल करें

x = (14 − (−0.1333))/2.829 = 4.997

उत्तर

x = 4.997
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 9.05

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

दिन की शिफ़्ट: 80·24/120 = 16, 80·36/120 = 24, 80·60/120 = 40
रात की शिफ़्ट: 40·24/120 = 8, 40·36/120 = 12, 40·60/120 = 20

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (10 − 16)²/16 + (28 − 24)²/24 + (42 − 40)²/40 + (14 − 8)²/8 + (8 − 12)²/12 + (18 − 20)²/20
χ² = 9.05

उत्तर

χ² = 9.05

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 8.77

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

आयु 18–30: 18, 42
आयु 31–50: 18, 42
आयु 51+: 12, 28

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (19 − 18)²/18 + (41 − 42)²/42 + (24 − 18)²/18 + (36 − 42)²/42 + (5 − 12)²/12 + (35 − 28)²/28
χ² = 8.77

निर्णय

df = 2, χ²crit = 9.210
8.77 < 9.210

उत्तर

χ² = 8.77

χ² क्रांतिक मान से कम है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है: संबंध का कोई सार्थक प्रमाण नहीं है।

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