मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

पुनरावृत्त माप डिज़ाइन में क्रम प्रभावों को किससे नियंत्रित किया जा सकता है?

  1. Aएकल-अंध प्रक्रिया
  2. Bयादृच्छिक प्रतिचयन
  3. Cकेवल बड़ा प्रतिदर्श
  4. Dप्रति-संतुलन (काउंटरबैलेंसिंग)
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता तीन या अधिक समूह-माध्यों की तुलना करती है। कई t-परीक्षणों के बजाय एक-मार्गी ANOVA क्यों उपयोग होता है?

  1. Aकई t-परीक्षण कुल प्रकार I त्रुटि दर को बढ़ा देते हैं
  2. BANOVA हमेशा समतुल्य t-परीक्षणों के समूह से बड़े प्रभाव पाता है
  3. Ct-परीक्षण 100 से बड़ी संख्याएँ नहीं संभाल सकते
  4. Dt-परीक्षणों को गुणात्मक आँकड़े चाहिए
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
101214161820

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 17, 21, 17, 15, 10।

n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 500 और मानक विचलन 60 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 452 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 500σ = 60x = 452
z =
5.प्रायिकतामध्यम
लाल: 7नीली: 5

एक थैले में 7 लाल और 5 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

7 / 5
P =
6.प्रायिकताकठिन
€p(x)−50.84200.15950.01

एक खेल खेलने का मूल्य €5 है। आप प्रायिकता 0.15 से €25 जीतते हैं और प्रायिकता 0.01 से €100; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €5€25: p = 0.15€100: p = 0.01
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
300 kg297.4 kgT = X₁ + … + X₁₂?

सीमेंट की बोरियाँ के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 25 kg और मानक विचलन 0.5 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 12 का कुल द्रव्यमान 297.4 kg से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 12> 297.4 kg
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
380420460500540580620hऊपर 75%

बैटरी जीवनकाल औसत 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 75% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 500 hσ = 40 h75%
x = h
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 9, s = 6L = ?Ux̄ = 63E95%

9 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 63 और मानक विचलन s = 6 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 9x̄ = 63s = 695%t(8) = 2.306
निचली सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 15σ = ?Us = 3.995%

15 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 3.9 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 14 के साथ χ² बंटन का 2.5% 5.629 से नीचे और 2.5% 26.119 से ऊपर है।

n = 15s = 3.9 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−1.16p = ?

एक समष्टि का माध्य 120 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 16 ज्ञात है। 64 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 117.68 है। H₀: μ = 120 बनाम H₁: μ < 120 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 120σ = 16n = 64x̄ = 117.68H₁: μ < μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
−1.961.96z = ?

एक परीक्षण में उपचार A वाले 300 में से 195 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 120 में से 86 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

x₁ = 195n₁ = 300x₂ = 86n₂ = 120
z =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy2444466488611066xy5105060

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy17492057237226892910332110xy2025306080100x = 21.5

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (21.5, 64) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(21.5, 64)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
हाँनहींकुलपुरुष364480महिलाएँ301040कुल6654120

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1202 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 3 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 3
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · प्रति-संतुलन (काउंटरबैलेंसिंग)

यह उत्तर क्यों है

प्रति-संतुलन अभ्यास और थकान के प्रभावों को स्थितियों में समान रूप से बाँट देता है।

उत्तर

D · प्रति-संतुलन (काउंटरबैलेंसिंग)
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · कई t-परीक्षण कुल प्रकार I त्रुटि दर को बढ़ा देते हैं

यह उत्तर क्यों है

कई युग्मवार परीक्षण मिथ्या धनात्मक की संभावना गुणा कर देते हैं। ANOVA सभी समूहों का एक साथ परीक्षण करता है और उसके बाद संशोधित पोस्ट-हॉक परीक्षण किए जाते हैं।

उत्तर

A · कई t-परीक्षण कुल प्रकार I त्रुटि दर को बढ़ा देते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 4

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 80/5 = 16

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 1² + 5² + 1² + (−1)² + (−6)² = 64

मानक विचलन

s = √(64/4) = 4

उत्तर

s = 4
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −0.8

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (452 − 500)/60 = −0.8

उत्तर

z = −0.8
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.3182

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0.3182

उत्तर

P = 0.3182
6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = −0.25 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 20 (p = 0.15), 95 (p = 0.01), −5 (p = 0.84)

प्रत्याशित मान

E(G) = 20·0.15 + 95·0.01 − 5·0.84 = −0.25 €

उत्तर

E(G) = −0.25 €

ऋणात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आपका पैसा घटता है।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9332

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μT = 300 kg, σT = 0.5·√12 = 1.732 kg

मानकीकृत करें

z = (297.4 − 300)/1.732 = −1.5

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332

उत्तर

P = 0.9332
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 473 h

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.25

सारणी से z

z ≈ −0.67

मूल इकाइयों में वापस

x = 500 − 0.67·40 = 473 h

उत्तर

x = 473 h
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 58.39

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 8, t = 2.306

त्रुटि सीमा

E = 2.306·6/√9 = 4.612

अंतराल

63 ± 4.612 → [58.39, 67.61]

उत्तर

निचली सीमा = 58.39
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 2.855 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 14·3.9² = 212.9

σ² की सीमाएँ

212.9/26.119 = 8.153
212.9/5.629 = 37.83

σ की सीमा

σ = √8.153 = 2.855 µm

उत्तर

σ = 2.855 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [2.855, 6.151] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.123

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 16/√64 = 2
z = (117.68 − 120)/2 = −1.16

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(1.16) = 0.8770
1 − Φ(1.16) = 0.1230

p-मान

p = 0.123

उत्तर

p = 0.123

p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = −1.312

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

प्रतिदर्श अनुपात

p̂₁ = 195/300 = 0.65
p̂₂ = 86/120 = 0.7167
p̂ = 281/420 = 0.669

H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि

SE = √(0.669·0.331·(1/300 + 1/120)) = 0.05083

परीक्षण सांख्यिकी

z = (0.65 − 0.7167)/0.05083 = −1.312

उत्तर

z = −1.312

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.8972

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 265/5 = 53

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Syy = Σ(y − ȳ)² = 388

निर्धारण गुणांक

r² = 118²/(40·388) = 0.8972

उत्तर

r² = 0.8972

y के विचरण का लगभग 89.72% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −2.857

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 147/6 = 24.5
ȳ = 480/6 = 80

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 690

समाश्रयण रेखा

b = 690/157.5 = 4.381
a = 80 − 4.381·24.5 = −27.33
ŷ = −27.33 + 4.381·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = −27.33 + 4.381·21.5 = 66.86

अवशिष्ट

e = 64 − 66.86 = −2.857

उत्तर

e = −2.857

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 9.697

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

पुरुष: 80·66/120 = 44, 80·54/120 = 36
महिलाएँ: 40·66/120 = 22, 40·54/120 = 18

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (36 − 44)²/44 + (44 − 36)²/36 + (30 − 22)²/22 + (10 − 18)²/18
χ² = 9.697

उत्तर

χ² = 9.697

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 2

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 3 − 1 = 2

उत्तर

df = 2

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