मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

पुनरावृत्त माप डिज़ाइन में क्रम प्रभावों को किससे नियंत्रित किया जा सकता है?

  1. Aप्रति-संतुलन (काउंटरबैलेंसिंग)
  2. Bएकल-अंध प्रक्रिया
  3. Cयादृच्छिक प्रतिचयन
  4. Dकेवल बड़ा प्रतिदर्श
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक 2 × 3 क्रमगुणित (factorial) ANOVA दिखाता है कि एक दवा युवा वयस्कों में स्मृति सुधारती है पर बुज़ुर्गों में नहीं। क्या पाया गया है?

  1. Aदवा और आयु के बीच अन्योन्यक्रिया (interaction)
  2. Bतल प्रभाव
  3. Cकेवल आयु का मुख्य प्रभाव
  4. Dप्रकार I त्रुटि
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
25303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 35, 25, 58, 36, 32।

n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 48 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 60σ = 10x = 48
z =
5.प्रायिकतामध्यम
लाल: 5नीली: 6

एक थैले में 5 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

5 / 6
P =
6.प्रायिकताकठिन
n = 9, p = 0.5: P(X ≤ 1) = ?k0123456789

9 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.5 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 9p = 0.5
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
680 kg646.1 kgT = X₁ + … + X₈?

सामान वाले यात्री के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 85 kg और मानक विचलन 12 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 8 का कुल द्रव्यमान 646.1 kg से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8> 646.1 kg
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
235240245250255260265gऊपर 5%

थैलों के भार औसत 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 5% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 250 gσ = 5 g5%
x = g
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 21, s = 11LUx̄ = 26.5E = ?90%

21 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 26.5 और मानक विचलन s = 11 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 21x̄ = 26.5s = 1190%t(20) = 1.725
E =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₁ − μ₂, t(15) = 1.7530L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 11 प्लॉट, माध्य उपज 28.5 kg, मानक विचलन 5.5 kg। प्लॉट समूह 2: 6 प्लॉट, माध्य 31 kg, मानक विचलन 7.5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 11x̄₁ = 28.5s₁ = 5.5n₂ = 6x̄₂ = 31s₂ = 7.590%t(15) = 1.753
निचली सीमा = kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.3652.365t = ?df = 7

8 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर −4.84 और अंतरों का मानक विचलन 5.7 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 8d̄ = −4.84sd = 5.7
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.595%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो? मानक विचलन 10 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 10E = 0.595%
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy366473578677781886xy4687080

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 33Σy = 461Σx² = 199Σy² = 35655Σxy = 2597
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy2347698131017xy51051015x = 5

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 5
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
बससाइकिलकारकुलछात्र40152984कर्मचारी23131450कुल632843134

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “छात्र, साइकिल” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 84स्तंभ योग = 28N = 134
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

3 पंक्तियों और 5 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

3 × 5
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · प्रति-संतुलन (काउंटरबैलेंसिंग)

यह उत्तर क्यों है

प्रति-संतुलन अभ्यास और थकान के प्रभावों को स्थितियों में समान रूप से बाँट देता है।

उत्तर

A · प्रति-संतुलन (काउंटरबैलेंसिंग)
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · दवा और आयु के बीच अन्योन्यक्रिया (interaction)

यह उत्तर क्यों है

अन्योन्यक्रिया तब होती है जब एक कारक का प्रभाव दूसरे के स्तरों पर भिन्न होता है। यहाँ दवा का प्रभाव आयु समूह पर निर्भर करता है।

उत्तर

A · दवा और आयु के बीच अन्योन्यक्रिया (interaction)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.4

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 186/5 = 37.2

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−2.2)² + (−12.2)² + 20.8² + (−1.2)² + (−5.2)² = 614.8

मानक विचलन

s = √(614.8/4) = 12.4

उत्तर

s = 12.4
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −1.2

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (48 − 60)/10 = −1.2

उत्तर

z = −1.2
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.1818

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 5/11 · 4/10 = 20/110 = 0.1818

उत्तर

P = 0.1818
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.01953

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.59 = 0.001953
P(X = 1) = 9·0.5·0.58 = 0.01758

जोड़ें

P = 0.001953 + 0.01758 = 0.01953

उत्तर

P = 0.01953
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μT = 680 kg, σT = 12·√8 = 33.94 kg

मानकीकृत करें

z = (646.1 − 680)/33.94 = −1

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 258.2 g

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.95

सारणी से z

z ≈ 1.64

मूल इकाइयों में वापस

x = 250 + 1.64·5 = 258.2 g

उत्तर

x = 258.2 g
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 4.141

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 20, t = 1.725

त्रुटि सीमा

E = 1.725·11/√21 = 4.141

उत्तर

E = 4.141
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = −8.05 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

sp² = (10·5.5² + 5·7.5²)/15 = 38.92
sp = 6.238

त्रुटि सीमा

E = 1.753·6.238·√(1/11 + 1/6) = 5.55

अंतराल

−2.5 ± 5.55 → [−8.05, 3.05]

उत्तर

निचली सीमा = −8.05 kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.402

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 5.7/√8 = 2.015

परीक्षण सांख्यिकी

t = −4.84/2.015 = −2.402

उत्तर

t = −2.402

df = 7 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.365 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 1537

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (1.96·10/0.5)² = 1537

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 1537

उत्तर

n = 1537
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9593

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 2597 − 33·461/6 = 61.5
Sxx = 199 − 33²/6 = 17.5
Syy = 35655 − 461²/6 = 234.8

सहसंबंध गुणांक

r = 61.5/√(17.5·234.8) = 0.9593

उत्तर

r = 0.9593
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 8.1

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 49/5 = 9.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68

समाश्रयण रेखा

b = 68/40 = 1.7
a = 9.8 − 1.7·6 = −0.4
ŷ = −0.4 + 1.7·x

पूर्वानुमान

ŷ = −0.4 + 1.7·5 = 8.1

उत्तर

ŷ = 8.1
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 17.55

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 84·28/134 = 17.55

उत्तर

E = 17.55
16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 8

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

उत्तर

df = 8

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