मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

अर्ध-विभाजन विश्वसनीयता (split-half reliability) में क्या शामिल है?

Aप्रतिदर्श के दो हिस्सों का अलग-अलग समय पर परीक्षण
Bप्रतिदर्श को प्रायोगिक और नियंत्रण समूह में बाँटना और उनके अंकों की तुलना करना
Cआधे-आधे सत्रों के लिए दो पर्यवेक्षकों का उपयोग
Dआंतरिक संगति जाँचने के लिए एक ही परीक्षण के दो हिस्सों के अंकों की तुलना

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता कार्यस्थल तनाव के अध्ययन के लिए प्रश्नावली, साक्षात्कार और अवलोकन का उपयोग करता है, और निष्कर्ष आपस में मेल खाते हैं। इस दृष्टिकोण को क्या कहते हैं?

Aत्रिकोणीकरण (triangulation)
Bस्तरीकरण
Cप्रति-संतुलन
Dपुनरावृत्ति

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 28, 14, 16, 15, 31, 21।

n = 6

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 170 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 160.4 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 170σ = 8x = 160.4

z =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.2, 0.35, 0.15

Var(X) =

6.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 5X + 5। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.3Y = 5X + 5

σ_Y =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 50 और 67.5 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 65σ = 10x₁ = 50x₂ = 67.5

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

लाइन 1 के उत्पाद का द्रव्यमान X और लाइन 2 के उत्पाद का Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 500 g और मानक विचलन 8 g है, Y का माध्य 490 g और मानक विचलन 6 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 60 फ़ोन, माध्य 74.5 h, ज्ञात मानक विचलन 11 h। मॉडल 2: 30 फ़ोन, माध्य 65.5 h, ज्ञात मानक विचलन 11 h। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 60x̄₁ = 74.5 hσ₁ = 11 hn₂ = 30x̄₂ = 65.5 hσ₂ = 11 h99%

E = h

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 35 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1.5 हो?

σ = 35E = 1.595%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

एक समष्टि का माध्य 50 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 18 ज्ञात है। 144 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 52.85 है। H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ > 50 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 50σ = 18n = 144x̄ = 52.85H₁: μ > μ₀

p =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

64 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 50.9 है। समष्टि मानक विचलन 4 है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 50.9σ = 4n = 6490%

U =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (2, 63) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(2, 63)

e =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “रात की शिफ़्ट, मामूली” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 109स्तंभ योग = 32N = 191

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

2 पंक्तियों और 6 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.01 पर क्रांतिक मान χ²_crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.01

χ²_crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · आंतरिक संगति जाँचने के लिए एक ही परीक्षण के दो हिस्सों के अंकों की तुलना

यह उत्तर क्यों है

यदि दोनों हिस्से एक ही संरचना (construct) को मापते हैं, तो उनके अंकों का उच्च सहसंबंध होना चाहिए। क्रॉनबाख़ अल्फ़ा इस विचार को सभी संभव विभाजनों तक बढ़ाता है।

उत्तर

D · आंतरिक संगति जाँचने के लिए एक ही परीक्षण के दो हिस्सों के अंकों की तुलना

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · त्रिकोणीकरण (triangulation)

यह उत्तर क्यों है

त्रिकोणीकरण कई विधियों, स्रोतों या शोधकर्ताओं का उपयोग करता है। उनके बीच सहमति निष्कर्षों की वैधता में विश्वास बढ़ाती है।

उत्तर

A · त्रिकोणीकरण (triangulation)

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 7.195

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 125/6 = 20.83

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 7.167² + (−6.833)² + (−4.833)² + (−5.833)² + 10.17² + 0.1667² = 258.8

मानक विचलन

s = √(258.8/5) = 7.195

उत्तर

s = 7.195

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −1.2

मानकीकृत करें

z = (160.4 − 170)/8 = −1.2

उत्तर

z = −1.2

5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.128

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.3 + 2·0.2 + 3·0.35 + 4·0.15 = 2.35

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.2 + 9·0.35 + 16·0.15 = 6.65

प्रसरण

Var(X) = 6.65 − 2.35² = 1.128

उत्तर

Var(X) = 1.128

6.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 6.782

X का फैलाव

μ = 3.4, Var(X) = 1.84, σ_X = 1.356

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |5|·1.356 = 6.782

उत्तर

σ_Y = 6.782

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 5·3.4 + 5 = 22।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.5319

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (50 − 65)/10 = −1.5

z₂ = (67.5 − 65)/10 = 0.25

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.25) − Φ(−1.5) = 0.5987 − 0.06681 = 0.5319

उत्तर

P = 0.5319

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/10 = −1

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 6.336 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 74.5 − 65.5 = 9

मानक त्रुटि

SE = √(11²/60 + 11²/30) = 2.46

त्रुटि सीमा

E = 2.576·2.46 = 6.336

उत्तर

E = 6.336 h

अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 2092

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.96·35/1.5)² = 2092

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 2092

उत्तर

n = 2092

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.02872

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 18/√144 = 1.5

z = (52.85 − 50)/1.5 = 1.9

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(1.9) = 0.9713

1 − Φ(1.9) = 0.0287

p-मान

p = 0.02872

उत्तर

p = 0.02872

p ≤ 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 51.72

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 1.645·4/√64 = 0.8225

अंतराल सीमा

U = 50.9 + 0.8225 = 51.72

उत्तर

U = 51.72

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9624

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 179/5 = 35.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 350.8

सहसंबंध गुणांक

r = 57/√(10·350.8) = 0.9624

उत्तर

r = 0.9624

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 2.119

माध्य

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 487/6 = 81.17

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 355

समाश्रयण रेखा

b = 355/70 = 5.071

a = 81.17 − 5.071·6 = 50.74

ŷ = 50.74 + 5.071·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 50.74 + 5.071·2 = 60.88

अवशिष्ट

e = 63 − 60.88 = 2.119

उत्तर

e = 2.119

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 18.26

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 109·32/191 = 18.26

उत्तर

E = 18.26

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²_crit = 15.09

स्वातंत्र्य कोटि

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

तालिका

χ²_crit(df = 5, α = 0.01) = 15.086

उत्तर

χ²_crit = 15.086

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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