मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

लगभग सामान्य अंतराल आँकड़ों वाले दो स्वतंत्र समूहों के माध्यों की तुलना के लिए कौन-सा परीक्षण उपयुक्त है?

Aस्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण
Bपियर्सन सहसंबंध
Cविलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण
Dकाई-वर्ग परीक्षण

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक स्मृति अध्ययन पुनरावृत्त माप डिज़ाइन का उपयोग करता है जिसमें हर कोई पहले सूची A और फिर सूची B सीखता है। सूची B का स्मरण बेहतर है। सबसे संभावित दोष क्या है?

Aअभ्यास जैसे क्रम प्रभाव, क्योंकि स्थितियों का प्रति-संतुलन नहीं किया गया
Bसमूहों के बीच व्यक्तिगत अंतर
Cबहुत बड़ा प्रतिदर्श आकार
Dमापन के क्रमसूचक स्तर का उपयोग

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 33, 20, 58, 29, 58, 35।

n = 6

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 170 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 188.8 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 170σ = 15x = 188.8

z =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.05, 0.3, 0.3

σ =

6.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 2X + 20। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.3, 0.15, 0.3Y = 2X + 20

σ_Y =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.0158 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.0158

z =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 75% आते हैं (75वाँ शततमक)।

μ = 178σ = 7P = 75%

x = cm

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 32.5 और मानक विचलन s = 7 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 10x̄ = 32.5s = 790%t(9) = 1.833

निचली सीमा =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 13 प्लॉट, माध्य उपज 60.5 kg, मानक विचलन 6 kg। प्लॉट समूह 2: 13 प्लॉट, माध्य 65.5 kg, मानक विचलन 4 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 13x̄₁ = 60.5s₁ = 6n₂ = 13x̄₂ = 65.5s₂ = 499%t(24) = 2.797

ऊपरी सीमा = kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 60 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 80.5 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 13 mm है। लाइन 2: 100 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 79.1 mm, ज्ञात मानक विचलन 17 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

n₁ = 60x̄₁ = 80.5 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 100x̄₂ = 79.1 mmσ₂ = 17 mm

z =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 2.5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 17 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.05शक्ति = 80%δ = 2.5σ = 17z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6

r² =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (19.5, 57) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(19.5, 57)

e =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “दिन की शिफ़्ट, गंभीर” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 36स्तंभ योग = 23N = 114

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2403 × 2α = 0.01

χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · स्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण

यह उत्तर क्यों है

स्वतंत्र t-परीक्षण दो समूह-माध्यों की तुलना करता है। काई-वर्ग आवृत्तियों के लिए है; विलकॉक्सन अप्राचलिक आँकड़ों वाले संबंधित प्रतिदर्शों के लिए है।

उत्तर

A · स्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · अभ्यास जैसे क्रम प्रभाव, क्योंकि स्थितियों का प्रति-संतुलन नहीं किया गया

यह उत्तर क्यों है

जब सभी प्रतिभागी स्थितियों को एक ही क्रम में अनुभव करते हैं, तो सुधार सूची के बजाय अभ्यास को दर्शा सकता है। प्रति-संतुलन (ABBA या आधे AB, आधे BA) इसे नियंत्रित करता है।

उत्तर

A · अभ्यास जैसे क्रम प्रभाव, क्योंकि स्थितियों का प्रति-संतुलन नहीं किया गया

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 15.72

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 233/6 = 38.83

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−5.833)² + (−18.83)² + 19.17² + (−9.833)² + 19.17² + (−3.833)² = 1235

मानक विचलन

s = √(1235/5) = 15.72

उत्तर

s = 15.72

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 1.25

मानकीकृत करें

z = (188.8 − 170)/15 = 1.25

उत्तर

z = 1.25

5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 2.488

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 2·0.05 + 4·0.3 + 6·0.3 = 3.1

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.05 + 16·0.3 + 36·0.3 = 15.8

प्रसरण

Var(X) = 15.8 − 3.1² = 6.19

σ = √6.19 = 2.488

उत्तर

σ = 2.488

6.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 2.324

X का फैलाव

μ = 1.5, Var(X) = 1.35, σ_X = 1.162

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |2|·1.162 = 2.324

उत्तर

σ_Y = 2.324

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 2·1.5 + 20 = 23।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 2.15

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.0158 = 0.9842

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9842 खोजें और z पढ़ें।

z = 2.15

उत्तर

z = 2.15

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 182.7 cm

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

वापस x पर

x = 178 + 0.6745·7 = 182.72 cm

उत्तर

x = 182.72 cm

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 28.44

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 9, t = 1.833

त्रुटि सीमा

E = 1.833·7/√10 = 4.058

अंतराल

32.5 ± 4.058 → [28.44, 36.56]

उत्तर

निचली सीमा = 28.44

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 0.594 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

s_p² = (12·6² + 12·4²)/24 = 26

s_p = 5.099

त्रुटि सीमा

E = 2.797·5.099·√(1/13 + 1/13) = 5.594

अंतराल

−5 ± 5.594 → [−10.59, 0.594]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 0.594 kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = 0.5861

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

अंतर की मानक त्रुटि

SE = √(13²/60 + 17²/100) = √5.707 = 2.389

परीक्षण सांख्यिकी

z = (80.5 − 79.1)/2.389 = 0.5861

उत्तर

z = 0.5861

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 287

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((1.645 + 0.842)·17/2.5)² = 286

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 287

उत्तर

n = 287

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.8756

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 315/6 = 52.5

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 81.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 433.5

निर्धारण गुणांक

r² = 81.5²/(17.5·433.5) = 0.8756

उत्तर

r² = 0.8756

y के विचरण का लगभग 87.56% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 5.319

माध्य

x̄ = 135/6 = 22.5

ȳ = 373/6 = 62.17

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 550.5

समाश्रयण रेखा

b = 550.5/157.5 = 3.495

a = 62.17 − 3.495·22.5 = −16.48

ŷ = −16.48 + 3.495·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = −16.48 + 3.495·19.5 = 51.68

अवशिष्ट

e = 57 − 51.68 = 5.319

उत्तर

e = 5.319

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 7.263

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 36·23/114 = 7.263

उत्तर

E = 7.263

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 22.23

अपेक्षित गणनाएँ

आयु 18–30: 30, 30

आयु 31–50: 50, 50

आयु 51+: 40, 40

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (22 − 30)²/30 + (38 − 30)²/30 + (68 − 50)²/50 + (32 − 50)²/50 + (30 − 40)²/40 + (50 − 40)²/40

χ² = 22.23

निर्णय

df = 2, χ²_crit = 9.210

22.23 > 9.210

उत्तर

χ² = 22.23

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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