मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

लगभग सामान्य अंतराल आँकड़ों वाले दो स्वतंत्र समूहों के माध्यों की तुलना के लिए कौन-सा परीक्षण उपयुक्त है?

Aविलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण
Bस्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण
Cकाई-वर्ग परीक्षण
Dपियर्सन सहसंबंध

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक अध्ययन पाता है कि प्रबल सामाजिक समर्थन वाले लोगों में बीमारी पर तनाव का प्रभाव कमज़ोर होता है। सामाजिक समर्थन किस रूप में कार्य कर रहा है?

Aसंयमक (moderator)
Bमध्यस्थ (mediator)
Cभ्रामक चर
Dआश्रित चर

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 59, 19, 20, 21, 43।

n = 5

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 70 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 92.5 से अधिक है?

μ = 70σ = 15x = 92.5

P =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.05, 0.35, 0.25, 0.35

σ =

6.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = −2X + 10। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.15, 0.35Y = −2X + 10

σ_Y =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 167.85 और 181.85 cm के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 178σ = 7x₁ = 167.85x₂ = 181.85

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई औसत 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 25% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 178 cmσ = 7 cm25%

x = cm

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

9 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 36 और मानक विचलन s = 6.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 9x̄ = 36s = 6.590%t(8) = 1.86

E =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 8 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1.5 हो?

σ = 8E = 1.599%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

10 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 4.78 और अंतरों का मानक विचलन 10.8 है। H₀: μ_d = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 10d̄ = 4.78s_d = 10.8

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक परीक्षण में उपचार A वाले 200 में से 130 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 250 में से 140 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

x₁ = 130n₁ = 200x₂ = 140n₂ = 250

z =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6

r² =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (10, 67) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(10, 67)

e =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1802 × 2

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

3 पंक्तियों और 3 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

3 × 3

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · स्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण

यह उत्तर क्यों है

स्वतंत्र t-परीक्षण दो समूह-माध्यों की तुलना करता है। काई-वर्ग आवृत्तियों के लिए है; विलकॉक्सन अप्राचलिक आँकड़ों वाले संबंधित प्रतिदर्शों के लिए है।

उत्तर

B · स्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · संयमक (moderator)

यह उत्तर क्यों है

संयमक दो चरों के बीच संबंध की प्रबलता या दिशा बदलता है। मध्यस्थ उस तंत्र की व्याख्या करता है जिसके माध्यम से एक चर दूसरे को प्रभावित करता है।

उत्तर

A · संयमक (moderator)

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 17.91

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 162/5 = 32.4

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 26.6² + (−13.4)² + (−12.4)² + (−11.4)² + 10.6² = 1283

मानक विचलन

s = √(1283/4) = 17.91

उत्तर

s = 17.91

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.06681

मानकीकृत करें

z = 1.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1.5) = 0.9332

P = 1 − 0.9332 = 0.06681

उत्तर

P = 0.06681

5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 9.434

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 10·0.05 + 20·0.35 + 30·0.25 + 40·0.35 = 29

वर्गों का माध्य

E(X²) = 100·0.05 + 400·0.35 + 900·0.25 + 1600·0.35 = 930

प्रसरण

Var(X) = 930 − 29² = 89

σ = √89 = 9.434

उत्तर

σ = 9.434

6.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 2.569

X का फैलाव

μ = 2.5, Var(X) = 1.65, σ_X = 1.285

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |−2|·1.285 = 2.569

उत्तर

σ_Y = 2.569

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = −2·2.5 + 10 = 5।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.6353

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (167.85 − 178)/7 = −1.45

z₂ = (181.85 − 178)/7 = 0.55

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.55) − Φ(−1.45) = 0.7088 − 0.07353 = 0.6353

उत्तर

P = 0.6353

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 173.3 cm

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.25

सारणी से z

z ≈ −0.67

मूल इकाइयों में वापस

x = 178 − 0.67·7 = 173.3 cm

उत्तर

x = 173.3 cm

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 4.03

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 8, t = 1.86

त्रुटि सीमा

E = 1.86·6.5/√9 = 4.03

उत्तर

E = 4.03

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 189

n ज्ञात करें

n = (2.576·8/1.5)² = 188.8

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 189

उत्तर

n = 189

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.4

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 10.8/√10 = 3.415

परीक्षण सांख्यिकी

t = 4.78/3.415 = 1.4

उत्तर

t = 1.4

df = 9 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.262 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = 1.936

परिकल्पना परीक्षण: परीक्षण प्रतिदर्शज = (अनुमान − H₀ के अंतर्गत मान)/(H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि)। p-मान वह प्रायिकता है, H₀ को सत्य मानते हुए, कि प्रतिदर्शज कम से कम प्रेक्षित जितना चरम हो: एकपक्षीय H₁ के लिए एक पुच्छ का क्षेत्रफल, द्विपक्षीय H₁ के लिए पुच्छ क्षेत्रफल का दोगुना। p ≤ α होने पर H₀ अस्वीकार करें।

प्रतिदर्श अनुपात

p̂₁ = 130/200 = 0.65

p̂₂ = 140/250 = 0.56

p̂ = 270/450 = 0.6

H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि

SE = √(0.6·0.4·(1/200 + 1/250)) = 0.04648

परीक्षण सांख्यिकी

z = (0.65 − 0.56)/0.04648 = 1.936

उत्तर

z = 1.936

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9877

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 141/6 = 23.5

ȳ = 740/6 = 123.3

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 834

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 4471

निर्धारण गुणांक

r² = 834²/(157.5·4471) = 0.9877

उत्तर

r² = 0.9877

y के विचरण का लगभग 98.77% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 3.5

माध्य

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 265/5 = 53

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

समाश्रयण रेखा

b = 140/40 = 3.5

a = 53 − 3.5·7 = 28.5

ŷ = 28.5 + 3.5·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 28.5 + 3.5·10 = 63.5

अवशिष्ट

e = 67 − 63.5 = 3.5

उत्तर

e = 3.5

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 1.714

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

पुरुष: 80·54/180 = 24, 80·126/180 = 56

महिलाएँ: 100·54/180 = 30, 100·126/180 = 70

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (28 − 24)²/24 + (52 − 56)²/56 + (26 − 30)²/30 + (74 − 70)²/70

χ² = 1.714

उत्तर

χ² = 1.714

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 4

स्वातंत्र्य कोटि

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

उत्तर

df = 4

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