मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

प्रयोगकर्ता पक्षपात सबसे सीधे किससे घटता है?

  1. Aबड़े प्रतिदर्श का उपयोग
  2. Bएक-पुच्छीय परिकल्पना का उपयोग
  3. Cकेवल स्वयंसेवकों का उपयोग
  4. Dआँकड़े एकत्र करने के लिए ऐसे शोधकर्ता का उपयोग जो परिकल्पना या स्थितियाँ नहीं जानता
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

कई शोधकर्ता क्यों तर्क देते हैं कि p-मानों को प्रभाव-आकार और विश्वास्यता अंतराल के साथ बताया जाना चाहिए?

  1. Ap-मान परिकल्पना के सत्य होने की प्रायिकता दिखाते हैं
  2. Bप्रभाव-आकार प्रतिदर्श आकार को सार्थकता के लिए अप्रासंगिक बना देते हैं
  3. Cविश्वास्यता अंतराल केवल गुणात्मक शोध में आवश्यक हैं
  4. Dp-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
25303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 41, 57, 22, 51, 31।

n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 40 से कम है?

μ = 50σ = 20x = 40
P =
5.प्रायिकतामध्यम
लाल: 7नीली: 6

एक थैले में 7 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

7 / 6
P =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)00.310.220.0530.3540.1μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 5X + 20। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.2, 0.05, 0.35, 0.1Y = 5X + 20
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123z−z और z के बीच छायांकित क्षेत्रफल = 0.6579

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.6579 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.6579
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
35455565758595अंकनीचे 40%

परीक्षा अंक औसत 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 40% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 65 अंकσ = 10 अंक40%
x = अंक
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 8, s = 5.5LUx̄ = 45E = ?99%

8 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 45 और मानक विचलन s = 5.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 8x̄ = 45s = 5.599%t(7) = 3.499
E =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 15Lσ = ?s = 10.995%

15 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 10.9 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 14 के साथ χ² बंटन का 2.5% 5.629 से नीचे और 2.5% 26.119 से ऊपर है।

n = 15s = 10.9 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.1792.179t = ?df = 12

13 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 2.05 और अंतरों का मानक विचलन 2 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 13d̄ = 2.05sd = 2
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 100 बनाम H₁: μ < 100 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.10 पर 36 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 12 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 95.8 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 100μ = 95.8σ = 12n = 36α = 0.10
1 − β = %
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy125219317418517xy242025

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy18412139245527593078xy202530406080ŷ = 59

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 59 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 59
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
निम्नमध्यमउच्चकुलशहरी8174469ग्रामीण22132964कुल303073133

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “ग्रामीण, मध्यम” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 64स्तंभ योग = 30N = 133
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 11 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · आँकड़े एकत्र करने के लिए ऐसे शोधकर्ता का उपयोग जो परिकल्पना या स्थितियाँ नहीं जानता

यह उत्तर क्यों है

परिकल्पना जानने वाले प्रयोगकर्ता अनजाने में प्रतिभागियों या अभिलेखों को प्रभावित कर सकते हैं। एकल- या द्वि-अंध प्रक्रियाएँ और मानकीकृत निर्देश इसे घटाते हैं।

उत्तर

D · आँकड़े एकत्र करने के लिए ऐसे शोधकर्ता का उपयोग जो परिकल्पना या स्थितियाँ नहीं जानता
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · p-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है

यह उत्तर क्यों है

p-मान प्रतिदर्श आकार पर बहुत निर्भर करता है और केवल यह बताता है कि शून्य परिकल्पना के अंतर्गत आँकड़े कितने आश्चर्यजनक हैं। प्रभाव-आकार परिमाण दिखाते हैं और अंतराल परिशुद्धता।

उत्तर

D · p-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.28

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 202/5 = 40.4

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 0.6² + 16.6² + (−18.4)² + 10.6² + (−9.4)² = 815.2

मानक विचलन

s = √(815.2/4) = 14.28

उत्तर

s = 14.28
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.3085

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −0.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085

उत्तर

P = 0.3085
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.2692

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0.2692

उत्तर

P = 0.2692
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 7.224

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 1.75, Var(X) = 2.088, σX = 1.445

रैखिक परिवर्तन

σY = |5|·1.445 = 7.224

उत्तर

σY = 7.224

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 5·1.75 + 20 = 28.75।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 0.95

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.6579)/2 = 0.8289

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.8289 खोजें और z पढ़ें।

z = 0.95

उत्तर

z = 0.95
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 62.5 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.4

सारणी से z

z ≈ −0.25

मूल इकाइयों में वापस

x = 65 − 0.25·10 = 62.5 अंक

उत्तर

x = 62.5 अंक
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 6.804

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 7, t = 3.499

त्रुटि सीमा

E = 3.499·5.5/√8 = 6.804

उत्तर

E = 6.804
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 17.19 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 14·10.9² = 1663

σ² की सीमाएँ

1663/26.119 = 63.68
1663/5.629 = 295.5

σ की सीमा

σ = √295.5 = 17.19 µm

उत्तर

σ = 17.19 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [7.98, 17.19] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 3.696

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 2/√13 = 0.5547

परीक्षण सांख्यिकी

t = 2.05/0.5547 = 3.696

उत्तर

t = 3.696

df = 12 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.179 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 79.33 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 12/√36 = 2
x̄c = 100 − 1.282·2 = 97.44

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (97.44 − 95.8)/2 = 0.818

शक्ति

शक्ति = P(Z < 0.818) = 79.33%
1 − β = 79.33%

उत्तर

1 − β = 79.33%
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.6451

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 96/5 = 19.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
Syy = Σ(y − ȳ)² = 44.8

निर्धारण गुणांक

r² = −17²/(10·44.8) = 0.6451

उत्तर

r² = 0.6451

y के विचरण का लगभग 64.51% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 25.47

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 272/5 = 54.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 282

समाश्रयण रेखा

b = 282/90 = 3.133
a = 54.4 − 3.133·24 = −20.8
ŷ = −20.8 + 3.133·x

x के लिए हल करें

x = (59 − (−20.8))/3.133 = 25.47

उत्तर

x = 25.47
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 14.44

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 64·30/133 = 14.44

उत्तर

E = 14.44
16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 18.31

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 11 − 1 = 10

तालिका

χ²crit(df = 10, α = 0.05) = 18.307

उत्तर

χ²crit = 18.307

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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