मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

15-मद चिंता स्केल के लिए 0.88 का क्रॉनबाख़ अल्फ़ा क्या दर्शाता है?

Aमदों की अच्छी आंतरिक संगति
Bस्केल का चिंता पर सार्थक प्रभाव है
Cस्केल भविष्य की चिंता की अच्छी भविष्यवाणी करता है
Dअंक छह महीनों तक स्थिर रहते हैं

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक अध्ययन पाता है कि अधिक सोने वाले छात्रों के अंक अधिक होते हैं। कौन-सा डिज़ाइन परिवर्तन कारण-संबंधी निष्कर्ष की सबसे अच्छी अनुमति देगा?

Aछात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना
Bअंकों को अधिक सटीकता से मापना
Cछात्रों से अपनी नींद दो बार बताने को कहना और दोनों रिपोर्टों का औसत लेना
Dअधिक छात्रों का सर्वेक्षण करना

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 33, 27, 21, 26, 54।

n = 5

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 70 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 88.75 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 70σ = 15x = 88.75

z =

5.प्रायिकतामध्यम

एक निष्पक्ष पासा 2 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 2

P =

6.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 10X − 3। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.25, 0.15, 0.3Y = 10X − 3

σ_Y =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 120 mm और मानक विचलन 0.3 mm है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 80 mm और मानक विचलन 0.4 mm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 201 mm से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 201 mm

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.02 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

ज्ञात σ और 64 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 6.7 है। उन्हीं आँकड़ों से 99% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

90%n₁ = 64E₁ = 6.799%

E₂ =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

25 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 10.2 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 24 के साथ χ² बंटन का 2.5% 12.401 से नीचे और 2.5% 39.364 से ऊपर है।

n = 25s = 10.2 µmχ² = 12.401, 39.364

σ = µm

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 14 छात्र, माध्य अंक 109, मानक विचलन 5.5। समूह 2: 8 छात्र, माध्य अंक 101.2, मानक विचलन 5.5। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n₁ = 14x̄₁ = 109s₁ = 5.5n₂ = 8x̄₂ = 101.2s₂ = 5.5

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

36 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 105 है। समष्टि मानक विचलन 10 है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 105σ = 10n = 3699%

U =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6

r² =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 22 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 22

x =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “रात की शिफ़्ट, कोई दोष नहीं” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 94स्तंभ योग = 47N = 158

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 8 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 8

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · मदों की अच्छी आंतरिक संगति

यह उत्तर क्यों है

क्रॉनबाख़ अल्फ़ा आंतरिक संगति का अनुमान लगाता है; लगभग 0.7 या उससे ऊपर के मान आमतौर पर स्वीकार्य माने जाते हैं। यह अपने आप में वैधता नहीं दिखाता।

उत्तर

A · मदों की अच्छी आंतरिक संगति

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · छात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना

यह उत्तर क्यों है

केवल यादृच्छिक आवंटन के साथ नींद में हेरफेर ही तीसरे चरों को नियंत्रित करता है और नैतिक सीमाओं के भीतर कारण-संबंधी अनुमान की अनुमति देता है।

उत्तर

A · छात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.91

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 161/5 = 32.2

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 0.8² + (−5.2)² + (−11.2)² + (−6.2)² + 21.8² = 666.8

मानक विचलन

s = √(666.8/4) = 12.91

उत्तर

s = 12.91

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 1.25

मानकीकृत करें

z = (88.75 − 70)/15 = 1.25

उत्तर

z = 1.25

5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.3056

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

उत्तर

P = 0.3056

6.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 12.03

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 1.45, Var(X) = 1.447, σ_X = 1.203

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |10|·1.203 = 12.03

उत्तर

σ_Y = 12.03

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 10·1.45 − 3 = 11.5।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.02275

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

मानकीकृत करें

z = (201 − 200)/0.5 = 2

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8264

अंतर का बंटन

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02121 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.02)/0.02121 = −0.94

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.94) = 0.8264

उत्तर

P = 0.8264

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 10.49

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(64/64) = 1.566

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 6.7·1.566 = 10.49

उत्तर

E₂ = 10.49

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 14.19 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 24·10.2² = 2497

σ² की सीमाएँ

2497/39.364 = 63.43

2497/12.401 = 201.4

σ की सीमा

σ = √201.4 = 14.19 µm

उत्तर

σ = 14.19 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [7.964, 14.19] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 3.2

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

संयुक्त प्रसरण

s_p² = (13·5.5² + 7·5.5²)/20 = 30.25

s_p = 5.5

मानक त्रुटि

SE = 5.5·√(1/14 + 1/8) = 2.438

परीक्षण सांख्यिकी

t = (109 − 101.2)/2.438 = 3.2

उत्तर

t = 3.2

df = 20 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.086 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 109.3

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 2.576·10/√36 = 4.293

अंतराल सीमा

U = 105 + 4.293 = 109.3

उत्तर

U = 109.3

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9704

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 574/6 = 95.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 298

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1307

निर्धारण गुणांक

r² = 298²/(70·1307) = 0.9704

उत्तर

r² = 0.9704

y के विचरण का लगभग 97.04% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 4.909

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 131/5 = 26.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

समाश्रयण रेखा

b = 154/40 = 3.85

a = 26.2 − 3.85·6 = 3.1

ŷ = 3.1 + 3.85·x

x के लिए हल करें

x = (22 − 3.1)/3.85 = 4.909

उत्तर

x = 4.909

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 27.96

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 94·47/158 = 27.96

उत्तर

E = 27.96

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 6

स्वातंत्र्य कोटि

df = 8 − 1 − 1 = 6

उत्तर

df = 6

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