मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

सामान्य बंटन में लगभग कितने प्रतिशत अंक माध्य से एक मानक विचलन के भीतर होते हैं?

A95%
B99.7%
C50%
D68%

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता पाता है कि आइसक्रीम की बिक्री और डूबने से मौतें धनात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं। सबसे संभावित व्याख्या क्या है?

Aसहसंबंध अवश्य गणना की त्रुटि है
Bडूबना आइसक्रीम बिक्री बढ़ाता है
Cआइसक्रीम डूबने का कारण बनती है
Dगर्म मौसम आइसक्रीम बिक्री और तैराकी दोनों बढ़ाता है

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 35, 51, 47, 30, 19।

n = 5

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 55 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 60σ = 10x = 55

z =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.35, 0.05, 0.25

Var(X) =

6.प्रायिकताकठिन

एक खेल खेलने का मूल्य €5 है। आप प्रायिकता 0.15 से €20 जीतते हैं और प्रायिकता 0.05 से €250; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €5€20: p = 0.15€250: p = 0.05

E(G) = €

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

सामान वाले यात्री के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 85 kg और मानक विचलन 12 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 9 का कुल द्रव्यमान 729 kg से कम है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9< 729 kg

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई औसत 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 30% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

10 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 0.5 और मानक विचलन 6.2 है। माध्य अंतर के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 10d̄ = 0.5s_d = 6.299%t(9) = 3.25

ऊपरी सीमा = mmHg

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.2 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.025 हो?

p ≈ 0.2E = 0.02590%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

9 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर −6 और अंतरों का मानक विचलन 7.5 है। H₀: μ_d = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 9d̄ = −6s_d = 7.5

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

25 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 72.6 है। समष्टि मानक विचलन 8 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 72.6σ = 8n = 2595%

U =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 21Σy = 133Σx² = 91Σy² = 3047Σxy = 426

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (1.5, 30) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(1.5, 30)

e =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “रात की शिफ़्ट, गंभीर” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 69स्तंभ योग = 37N = 136

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 4 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.01 पर क्रांतिक मान χ²_crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.01

χ²_crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · 68%

यह उत्तर क्यों है

लगभग 68% अंक ±1 SD के भीतर, लगभग 95% ±2 SD के भीतर और लगभग 99.7% ±3 SD के भीतर आते हैं।

उत्तर

D · 68%

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · गर्म मौसम आइसक्रीम बिक्री और तैराकी दोनों बढ़ाता है

यह उत्तर क्यों है

एक तीसरा चर, तापमान, दोनों का कारण है। यह दिखाता है कि अकेला सहसंबंध कार्य-कारण क्यों नहीं दिखा सकता।

उत्तर

D · गर्म मौसम आइसक्रीम बिक्री और तैराकी दोनों बढ़ाता है

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.95

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 182/5 = 36.4

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−1.4)² + 14.6² + 10.6² + (−6.4)² + (−17.4)² = 671.2

मानक विचलन

s = √(671.2/4) = 12.95

उत्तर

s = 12.95

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −0.5

मानकीकृत करें

z = (55 − 60)/10 = −0.5

उत्तर

z = −0.5

5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 136

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 10·0.35 + 20·0.35 + 30·0.05 + 40·0.25 = 22

वर्गों का माध्य

E(X²) = 100·0.35 + 400·0.35 + 900·0.05 + 1600·0.25 = 620

प्रसरण

Var(X) = 620 − 22² = 136

उत्तर

Var(X) = 136

6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 10.5 €

शुद्ध परिणाम

G: 15 (p = 0.15), 245 (p = 0.05), −5 (p = 0.8)

प्रत्याशित मान

E(G) = 15·0.15 + 245·0.05 − 5·0.8 = 10.5 €

उत्तर

E(G) = 10.5 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.1587

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μ_T = 765 kg, σ_T = 12·√9 = 36 kg

मानकीकृत करें

z = (729 − 765)/36 = −1

प्रायिकता

P = Φ(−1) = 0.1587

उत्तर

P = 0.1587

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 181.6 cm

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.7

सारणी से z

z ≈ 0.52

मूल इकाइयों में वापस

x = 178 + 0.52·7 = 181.6 cm

उत्तर

x = 181.6 cm

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 6.872 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 9, t = 3.25

त्रुटि सीमा

E = 3.25·6.2/√10 = 6.372

अंतराल

0.5 ± 6.372 → [−5.872, 6.872]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 6.872 mmHg

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 693

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.645²·0.2·0.8/0.025² = 692.7

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 693

उत्तर

n = 693

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.4

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 7.5/√9 = 2.5

परीक्षण सांख्यिकी

t = −6/2.5 = −2.4

उत्तर

t = −2.4

df = 8 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.306 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 75.74

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 1.96·8/√25 = 3.136

अंतराल सीमा

U = 72.6 + 3.136 = 75.74

उत्तर

U = 75.74

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = −0.9498

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 426 − 21·133/6 = −39.5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 3047 − 133²/6 = 98.83

सहसंबंध गुणांक

r = −39.5/√(17.5·98.83) = −0.9498

उत्तर

r = −0.9498

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 4.55

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 104/5 = 20.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

समाश्रयण रेखा

b = −31/10 = −3.1

a = 20.8 − (−3.1)·3 = 30.1

ŷ = 30.1 − 3.1·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 30.1 + (−3.1)·1.5 = 25.45

अवशिष्ट

e = 30 − 25.45 = 4.55

उत्तर

e = 4.55

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 18.77

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 69·37/136 = 18.77

उत्तर

E = 18.77

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²_crit = 11.35

स्वातंत्र्य कोटि

df = 4 − 1 = 3

तालिका

χ²_crit(df = 3, α = 0.01) = 11.345

उत्तर

χ²_crit = 11.345

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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