मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

पारिस्थितिक वैधता का अर्थ है:

  1. Aनिष्कर्ष वास्तविक जीवन की स्थितियों पर कितनी अच्छी तरह सामान्यीकृत होते हैं
  2. Bक्या परीक्षण सही चीज़ मापता हुआ दिखता है
  3. Cक्या परीक्षण भावी व्यवहार की भविष्यवाणी करता है
  4. Dपरीक्षण समय के साथ कितना संगत है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक मनोविज्ञान विभाग केवल प्रारंभिक मनोविज्ञान पाठ्यक्रमों से प्रतिभागी भर्ती करता है। आलोचक कहते हैं कि प्रतिदर्श "WEIRD" हैं। इसका क्या अर्थ है?

  1. Aऐसे प्रतिदर्श जो अध्ययनों से जल्दी हट जाते हैं
  2. Bभारित यादृच्छिक विधियों से भर्ती किए गए प्रतिदर्श
  3. Cपश्चिमी (Western), शिक्षित (Educated), औद्योगीकृत (Industrialised), समृद्ध (Rich) और लोकतांत्रिक (Democratic) प्रतिदर्श जो सामान्यीकृत नहीं भी हो सकते
  4. Dऐसे प्रतिदर्श जिनका व्यवहार असामान्य रूप से अजीब है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
2025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 58, 45, 24, 58, 16।

n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 120 से अधिक है?

μ = 100σ = 10x = 120
P =
5.प्रायिकतामध्यम
n = 14k = 5N = ?

14 लोगों के समूह से 5 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 14k = 5
N =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)10.0520.3530.240.3550.05μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 2X + 5। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.35, 0.2, 0.35, 0.05Y = 2X + 5
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
1360 kg1456 kgT = X₁ + … + X₁₆?

सामान वाले यात्री के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 85 kg और मानक विचलन 12 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 16 का कुल द्रव्यमान 1456 kg से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1456 kg
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
557085100115130145अंकनीचे 80%

IQ अंक औसत 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 80% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 100 अंकσ = 15 अंक80%
x = अंक
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 30, s = 17LUx̄ = 90.5E = ?95%

30 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 90.5 और मानक विचलन s = 17 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 30x̄ = 90.5s = 1795%t(29) = 2.045
E =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₁ − μ₂, t(14) = 2.1450LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 7 प्लॉट, माध्य उपज 53.5 kg, मानक विचलन 8.5 kg। प्लॉट समूह 2: 9 प्लॉट, माध्य 49.5 kg, मानक विचलन 3.5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 7x̄₁ = 53.5s₁ = 8.5n₂ = 9x̄₂ = 49.5s₂ = 3.595%t(14) = 2.145
E = kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −1.9901.99

81 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 104 और प्रतिदर्श मानक विचलन 15 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 104s = 15n = 81
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 80 बनाम H₁: μ < 80 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.05 पर 100 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 30 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 71 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 80μ = 71σ = 30n = 100α = 0.05
1 − β = %
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy122220320416511xy241520

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy264106128151018xy5101015x = 7

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 7 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 7
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
कोई दोष नहींमामूलीगंभीरकुलदिन की शिफ़्ट35312086रात की शिफ़्ट30203787कुल655157173

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “रात की शिफ़्ट, मामूली” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 87स्तंभ योग = 51N = 173
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
हाँनहींकुलआयु 18–3057360आयु 31–50281240आयु 51+6535100कुल15050200dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · निष्कर्ष वास्तविक जीवन की स्थितियों पर कितनी अच्छी तरह सामान्यीकृत होते हैं

यह उत्तर क्यों है

पारिस्थितिक वैधता इस बारे में है कि क्या परिणाम रोज़मर्रा की स्थितियों पर लागू होते हैं। अत्यधिक नियंत्रित प्रयोगशाला अध्ययन इसमें प्रायः कम आँके जाते हैं।

उत्तर

A · निष्कर्ष वास्तविक जीवन की स्थितियों पर कितनी अच्छी तरह सामान्यीकृत होते हैं
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · पश्चिमी (Western), शिक्षित (Educated), औद्योगीकृत (Industrialised), समृद्ध (Rich) और लोकतांत्रिक (Democratic) प्रतिदर्श जो सामान्यीकृत नहीं भी हो सकते

यह उत्तर क्यों है

Henrich और सहयोगियों ने ध्यान दिलाया कि अधिकांश मनोविज्ञान प्रतिभागी WEIRD समाजों से आते हैं, जो मानवता का प्रतिनिधित्व नहीं करते, जिससे जनसंख्या वैधता को ख़तरा है।

उत्तर

C · पश्चिमी (Western), शिक्षित (Educated), औद्योगीकृत (Industrialised), समृद्ध (Rich) और लोकतांत्रिक (Democratic) प्रतिदर्श जो सामान्यीकृत नहीं भी हो सकते
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 19.4

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 201/5 = 40.2

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 17.8² + 4.8² + (−16.2)² + 17.8² + (−24.2)² = 1505

मानक विचलन

s = √(1505/4) = 19.4

उत्तर

s = 19.4
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.02275

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(2) = 0.9772
P = 1 − 0.9772 = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275
5.प्रायिकता

उत्तर: N = 2002

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002

उत्तर

N = 2002
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 2.098

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 3, Var(X) = 1.1, σX = 1.049

रैखिक परिवर्तन

σY = |2|·1.049 = 2.098

उत्तर

σY = 2.098

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 2·3 + 5 = 11।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.02275

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μT = 1360 kg, σT = 12·√16 = 48 kg

मानकीकृत करें

z = (1456 − 1360)/48 = 2

प्रायिकता

P = 1 − Φ(2) = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 112.6 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.8

सारणी से z

z ≈ 0.84

मूल इकाइयों में वापस

x = 100 + 0.84·15 = 112.6 अंक

उत्तर

x = 112.6 अंक
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 6.347

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 29, t = 2.045

त्रुटि सीमा

E = 2.045·17/√30 = 6.347

उत्तर

E = 6.347
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 6.66 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

sp² = (6·8.5² + 8·3.5²)/14 = 37.96
sp = 6.162

त्रुटि सीमा

E = 2.145·6.162·√(1/7 + 1/9) = 6.66

उत्तर

E = 6.66 kg
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.4

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 15/√81 = 15/9 = 1.667

परीक्षण सांख्यिकी

t = (104 − 100)/1.667 = 2.4

उत्तर

t = 2.4
t0.025; df = 80 = 1.99

|t| > 1.99, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 91.23 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 30/√100 = 3
x̄c = 80 − 1.645·3 = 75.06

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (75.06 − 71)/3 = 1.355

शक्ति

शक्ति = P(Z < 1.355) = 91.23%
1 − β = 91.23%

उत्तर

1 − β = 91.23%
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = −0.9382

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 89/5 = 17.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
Syy = Σ(y − ȳ)² = 76.8

सहसंबंध गुणांक

r = −26/√(10·76.8) = −0.9382

उत्तर

r = −0.9382
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 13.65

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 61/5 = 12.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58

समाश्रयण रेखा

b = 58/40 = 1.45
a = 12.2 − 1.45·6 = 3.5
ŷ = 3.5 + 1.45·x

पूर्वानुमान

ŷ = 3.5 + 1.45·7 = 13.65

उत्तर

ŷ = 13.65
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 25.65

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 87·51/173 = 25.65

उत्तर

E = 25.65
16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 18.67

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

आयु 18–30: 45, 15
आयु 31–50: 30, 10
आयु 51+: 75, 25

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (57 − 45)²/45 + (3 − 15)²/15 + (28 − 30)²/30 + (12 − 10)²/10 + (65 − 75)²/75 + (35 − 25)²/25
χ² = 18.67

निर्णय

df = 2, χ²crit = 9.210
18.67 > 9.210

उत्तर

χ² = 18.67

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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