मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्नकोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक अध्ययन पूर्व-पंजीकृत (preregistered) है। इसका अर्थ है कि:

  1. Aपरिकल्पनाएँ, विधियाँ और विश्लेषण योजना आँकड़े एकत्र करने से पहले सार्वजनिक रूप से दर्ज की जाती हैं
  2. Bप्रतिभागी अपनी सहमति ऑनलाइन दर्ज करते हैं
  3. Cप्रकाशन से पहले परिणामों की जाँच और अनुमोदन एक दूसरे स्वतंत्र सांख्यिकीविद् ने किया
  4. Dअध्ययन पहले ही प्रकाशित हो चुका है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक अध्ययन पाता है कि प्रबल सामाजिक समर्थन वाले लोगों में बीमारी पर तनाव का प्रभाव कमज़ोर होता है। सामाजिक समर्थन किस रूप में कार्य कर रहा है?

  1. Aसंयमक (moderator)
  2. Bमध्यस्थ (mediator)
  3. Cभ्रामक चर
  4. Dआश्रित चर
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
202530354045505560

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 23, 58, 36, 60, 47, 16।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 76 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 60σ = 8x = 76
z =
5.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2?3?4?5P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 5 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 5
P =
6.प्रायिकताकठिन
n = 6, p = 0.5: P(X = 5) = ?k0123456

एक परीक्षा में 6 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.5 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 5 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 6p = 0.5k = 5
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
150 kg152.4 kgT = X₁ + … + X₆?

सीमेंट की बोरियाँ के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 25 kg और मानक विचलन 0.5 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 6 का कुल द्रव्यमान 152.4 kg से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 6> 152.4 kg
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
0.04 mm0D − d?

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.04 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 30 फ़ोन, माध्य 102.5 h, ज्ञात मानक विचलन 14 h। मॉडल 2: 40 फ़ोन, माध्य 101 h, ज्ञात मानक विचलन 10 h। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 30x̄₁ = 102.5 hσ₁ = 14 hn₂ = 40x̄₂ = 101 hσ₂ = 10 h95%
E = h
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 30, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

समष्टि मानक विचलन 30 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1 हो?

σ = 30E = 199%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.0932.093t = ?df = 19

दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 13 छात्र, माध्य अंक 26.5, मानक विचलन 6। समूह 2: 8 छात्र, माध्य अंक 32.1, मानक विचलन 3.5। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n₁ = 13x̄₁ = 26.5s₁ = 6n₂ = 8x̄₂ = 32.1s₂ = 3.5
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1.599%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1.5 हो? मानक विचलन 10 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 10E = 1.599%
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy242340446549658xy246405060

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 20Σy = 235Σx² = 90Σy² = 11245Σxy = 981
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy127223323422520xy242025x = 4.5

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (4.5, 18) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(4.5, 18)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
हाँनहींकुलपुरुष5248100महिलाएँ4852100कुल100100200

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2002 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
उत्तीर्णअनुत्तीर्णकुललाइन 1152540लाइन 23763100लाइन 338240कुल9090180dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 1803 × 2α = 0.01
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · परिकल्पनाएँ, विधियाँ और विश्लेषण योजना आँकड़े एकत्र करने से पहले सार्वजनिक रूप से दर्ज की जाती हैं

यह उत्तर क्यों है

पूर्व-पंजीकरण पुष्टिकारी विश्लेषणों को अन्वेषणात्मक विश्लेषणों से अलग करता है और p-hacking तथा HARKing जैसी प्रथाओं को घटाता है।

उत्तर

A · परिकल्पनाएँ, विधियाँ और विश्लेषण योजना आँकड़े एकत्र करने से पहले सार्वजनिक रूप से दर्ज की जाती हैं
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · संयमक (moderator)

यह उत्तर क्यों है

संयमक दो चरों के बीच संबंध की प्रबलता या दिशा बदलता है। मध्यस्थ उस तंत्र की व्याख्या करता है जिसके माध्यम से एक चर दूसरे को प्रभावित करता है।

उत्तर

A · संयमक (moderator)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 18.19

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 240/6 = 40

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−17)² + 18² + (−4)² + 20² + 7² + (−24)² = 1654

मानक विचलन

s = √(1654/5) = 18.19

उत्तर

s = 18.19
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 2

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (76 − 60)/8 = 2

उत्तर

z = 2
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.5981

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981

उत्तर

P = 0.5981
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.09375

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 5) = 6·0.55·0.51 = 6·0.03125·0.5 = 0.09375

उत्तर

P = 0.09375
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.025

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μT = 150 kg, σT = 0.5·√6 = 1.225 kg

मानकीकृत करें

z = (152.4 − 150)/1.225 = 1.96

प्रायिकता

P = 1 − Φ(1.96) = 0.025

उत्तर

P = 0.025
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9706

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02121 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.04)/0.02121 = −1.89

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.89) = 0.9706

उत्तर

P = 0.9706
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 5.891 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 102.5 − 101 = 1.5

मानक त्रुटि

SE = √(14²/30 + 10²/40) = 3.006

त्रुटि सीमा

E = 1.96·3.006 = 5.891

उत्तर

E = 5.891 h

अंतराल में 0 है, इसलिए आँकड़े कोई सार्थक अंतर नहीं दिखाते।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 5973

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·30/1)² = 5972

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 5973

उत्तर

n = 5973
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.387

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

संयुक्त प्रसरण

sp² = (12·6² + 7·3.5²)/19 = 27.25
sp = 5.22

मानक त्रुटि

SE = 5.22·√(1/13 + 1/8) = 2.346

परीक्षण सांख्यिकी

t = (26.5 − 32.1)/2.346 = −2.387

उत्तर

t = −2.387

df = 19 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.093 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 295

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (2.576·10/1.5)² = 294.9

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 295

उत्तर

n = 295
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9168

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 981 − 20·235/5 = 41
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 11245 − 235²/5 = 200

सहसंबंध गुणांक

r = 41/√(10·200) = 0.9168

उत्तर

r = 0.9168
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −2.75

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 115/5 = 23

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

समाश्रयण रेखा

b = −15/10 = −1.5
a = 23 − (−1.5)·3 = 27.5
ŷ = 27.5 − 1.5·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 27.5 + (−1.5)·4.5 = 20.75

अवशिष्ट

e = 18 − 20.75 = −2.75

उत्तर

e = −2.75

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 0.32

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

पुरुष: 100·100/200 = 50, 100·100/200 = 50
महिलाएँ: 100·100/200 = 50, 100·100/200 = 50

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (52 − 50)²/50 + (48 − 50)²/50 + (48 − 50)²/50 + (52 − 50)²/50
χ² = 0.32

उत्तर

χ² = 0.32

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 41.66

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

लाइन 1: 20, 20
लाइन 2: 50, 50
लाइन 3: 20, 20

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (15 − 20)²/20 + (25 − 20)²/20 + (37 − 50)²/50 + (63 − 50)²/50 + (38 − 20)²/20 + (2 − 20)²/20
χ² = 41.66

निर्णय

df = 2, χ²crit = 9.210
41.66 > 9.210

उत्तर

χ² = 41.66

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology