मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

माँग विशेषताएँ (डिमांड कैरेक्टरिस्टिक्स) क्या हैं?

  1. Aप्रतिदर्श की विशेषताएँ
  2. Bकिसी परीक्षण की सांख्यिकीय आवश्यकताएँ
  3. Cअध्ययन शुरू होने से पहले नैतिकता समिति द्वारा रखी जाने वाली औपचारिक माँगें
  4. Dऐसे संकेत जिनसे प्रतिभागी उद्देश्य का अनुमान लगाकर अपना व्यवहार बदल लेते हैं
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक अध्ययन पाता है कि अधिक सोने वाले छात्रों के अंक अधिक होते हैं। कौन-सा डिज़ाइन परिवर्तन कारण-संबंधी निष्कर्ष की सबसे अच्छी अनुमति देगा?

  1. Aछात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना
  2. Bअधिक छात्रों का सर्वेक्षण करना
  3. Cअंकों को अधिक सटीकता से मापना
  4. Dछात्रों से अपनी नींद दो बार बताने को कहना और दोनों रिपोर्टों का औसत लेना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
20253035

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 19, 21, 17, 38, 32, 39।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 70 और मानक विचलन 5 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 66 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 70σ = 5x = 66
z =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.3510.2520.330.1μ = 1.15

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.25, 0.3, 0.1
Var(X) =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)100.15200.3300.35400.2μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 3X + 5। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.3, 0.35, 0.2Y = 3X + 5
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
480 g475.8 gT = X₁ + … + X₁₂?

बोल्ट के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 40 g और मानक विचलन 1.2 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 12 का कुल द्रव्यमान 475.8 g से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 12> 475.8 g
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
0.04 mm0D − d?

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.04 mm और मानक विचलन 0.01 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 20, sd​ = 7.20LUd̄ = 5.1E = ?99%

20 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 5.1 और मानक विचलन 7.2 है। माध्य अंतर के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 20d̄ = 5.1sd = 7.299%t(19) = 2.861
E = mmHg
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.02599%

दोषपूर्ण उत्पादों के अनुपात के बारे में पहले से कुछ ज्ञात नहीं है। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.025 हो?

p = 0.5E = 0.02599%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.3p = ?

एक समष्टि का माध्य 50 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 10 ज्ञात है। 25 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 45.4 है। H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ < 50 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 50σ = 10n = 25x̄ = 45.4H₁: μ < μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1.5α = 0.01βσ = 5, शक्ति 80%, n = ?

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 1.5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 5 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 80%δ = 1.5σ = 5zα = 2.326zβ = 0.842
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy15381851214824572776xy152025406080

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy123224320420519xy24202224x = 2.5

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (2.5, 27) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(2.5, 27)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
हाँनहींकुलपुरुष5149100महिलाएँ6931100कुल12080200

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2002 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

2 पंक्तियों और 5 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · ऐसे संकेत जिनसे प्रतिभागी उद्देश्य का अनुमान लगाकर अपना व्यवहार बदल लेते हैं

यह उत्तर क्यों है

जब प्रतिभागी परिकल्पना समझ जाते हैं तो वे उसे पुष्ट करने या बिगाड़ने के लिए व्यवहार कर सकते हैं, जिससे वैधता को ख़तरा होता है। छल और अंध प्रक्रियाएँ इसे घटाती हैं।

उत्तर

D · ऐसे संकेत जिनसे प्रतिभागी उद्देश्य का अनुमान लगाकर अपना व्यवहार बदल लेते हैं
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · छात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना

यह उत्तर क्यों है

केवल यादृच्छिक आवंटन के साथ नींद में हेरफेर ही तीसरे चरों को नियंत्रित करता है और नैतिक सीमाओं के भीतर कारण-संबंधी अनुमान की अनुमति देता है।

उत्तर

A · छात्रों को यादृच्छिक रूप से अलग-अलग नींद समय-सारणियों में आवंटित करना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 9.873

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 166/6 = 27.67

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−8.667)² + (−6.667)² + (−10.67)² + 10.33² + 4.333² + 11.33² = 487.3

मानक विचलन

s = √(487.3/5) = 9.873

उत्तर

s = 9.873
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −0.8

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (66 − 70)/5 = −0.8

उत्तर

z = −0.8
5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.028

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 1·0.25 + 2·0.3 + 3·0.1 = 1.15

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.25 + 4·0.3 + 9·0.1 = 2.35

प्रसरण

Var(X) = 2.35 − 1.15² = 1.028

उत्तर

Var(X) = 1.028
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 29.09

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 26, Var(X) = 94, σX = 9.695

रैखिक परिवर्तन

σY = |3|·9.695 = 29.09

उत्तर

σY = 29.09

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 3·26 + 5 = 83।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8438

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μT = 480 g, σT = 1.2·√12 = 4.157 g

मानकीकृत करें

z = (475.8 − 480)/4.157 = −1.01

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.01) = 0.8438

उत्तर

P = 0.8438
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9633

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633

उत्तर

P = 0.9633
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 4.606 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 19, t = 2.861

त्रुटि सीमा

E = 2.861·7.2/√20 = 4.606

उत्तर

E = 4.606 mmHg
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 2655

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 2.576²·0.5·0.5/0.025² = 2654

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 2655

उत्तर

n = 2655
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.01072

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 10/√25 = 2
z = (45.4 − 50)/2 = −2.3

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(2.3) = 0.9893
1 − Φ(2.3) = 0.0107

p-मान

p = 0.01072

उत्तर

p = 0.01072

p ≤ 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 112

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 0.842)·5/1.5)² = 111.5

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 112

उत्तर

n = 112
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.8469

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 270/5 = 54

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246
Syy = Σ(y − ȳ)² = 794

निर्धारण गुणांक

r² = 246²/(90·794) = 0.8469

उत्तर

r² = 0.8469

y के विचरण का लगभग 84.69% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 5.2

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 106/5 = 21.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −12

समाश्रयण रेखा

b = −12/10 = −1.2
a = 21.2 − (−1.2)·3 = 24.8
ŷ = 24.8 − 1.2·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 24.8 + (−1.2)·2.5 = 21.8

अवशिष्ट

e = 27 − 21.8 = 5.2

उत्तर

e = 5.2

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 6.75

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

पुरुष: 100·120/200 = 60, 100·80/200 = 40
महिलाएँ: 100·120/200 = 60, 100·80/200 = 40

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (51 − 60)²/60 + (49 − 40)²/40 + (69 − 60)²/60 + (31 − 40)²/40
χ² = 6.75

उत्तर

χ² = 6.75

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 9.488

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

तालिका

χ²crit(df = 4, α = 0.05) = 9.488

उत्तर

χ²crit = 9.488

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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