मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

प्रकार I त्रुटि तब होती है जब शोधकर्ता:

Aअसत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार नहीं करता
Bऐसी शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करता है जो वास्तव में सत्य है
Cबहुत अधिक डेटा एकत्र करता है
Dगलत सांख्यिकीय परीक्षण का उपयोग करता है

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

दो पर्यवेक्षक एक खेल के मैदान में आक्रामक कृत्यों को दर्ज करते हैं और उनकी गणनाओं का सहसंबंध r = 0.45 है। शोधकर्ता को क्या करना चाहिए?

Aआँकड़े स्वीकार करना क्योंकि कोई भी धनात्मक सहसंबंध पर्याप्त है
Bदोनों में से केवल बड़ी गणना का उपयोग करना
Cएक-पुच्छीय परिकल्पना पर जाना
Dव्यवहार श्रेणियों को परिष्कृत करना और पर्यवेक्षकों को प्रशिक्षित करना, फिर सहमति फिर से जाँचना

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 26, 23, 12, 59, 47, 49, 24।

n = 7

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 75 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 545 से कम है?

μ = 500σ = 75x = 545

P =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35

Var(X) =

6.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 3X + 20। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.1, 0.3, 0.3Y = 3X + 20

σ_Y =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 468 और 540 h के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 500σ = 40x₁ = 468x₂ = 540

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 80% आते हैं (80वाँ शततमक)।

μ = 65σ = 10P = 80%

x = अंक

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 40 फ़ोन, माध्य 136.5 h, ज्ञात मानक विचलन 15 h। मॉडल 2: 60 फ़ोन, माध्य 151.5 h, ज्ञात मानक विचलन 9 h। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 40x̄₁ = 136.5 hσ₁ = 15 hn₂ = 60x̄₂ = 151.5 hσ₂ = 9 h95%

निचली सीमा = h

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 37 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 4 हो?

σ = 37E = 499%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 30 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 107.5 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 14 mm है। लाइन 2: 60 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 115.5 mm, ज्ञात मानक विचलन 10 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

n₁ = 30x̄₁ = 107.5 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 60x̄₂ = 115.5 mmσ₂ = 10 mm

z =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

100 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 99.5 है। समष्टि मानक विचलन 5 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 99.5σ = 5n = 10095%

U =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 30Σy = 83Σx² = 220Σy² = 1637Σxy = 598

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (3, 10) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(3, 10)

e =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “ग्रामीण, मध्यम” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 92स्तंभ योग = 52N = 155

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 1803 × 2α = 0.01

χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · ऐसी शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करता है जो वास्तव में सत्य है

यह उत्तर क्यों है

प्रकार I त्रुटि ऐसे प्रभाव का दावा करती है जो मौजूद नहीं है। इसकी प्रायिकता सार्थकता स्तर (प्रायः 0.05) के बराबर होती है। प्रकार II त्रुटि वास्तविक प्रभाव को चूक जाती है।

उत्तर

B · ऐसी शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करता है जो वास्तव में सत्य है

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · व्यवहार श्रेणियों को परिष्कृत करना और पर्यवेक्षकों को प्रशिक्षित करना, फिर सहमति फिर से जाँचना

यह उत्तर क्यों है

कम अंतर-पर्यवेक्षक विश्वसनीयता का अर्थ है कि श्रेणियाँ असंगत रूप से लागू हो रही हैं। स्पष्ट संक्रियात्मक परिभाषाएँ और अभ्यास सत्र मुख्य आँकड़ा संग्रह से पहले सहमति बढ़ाने चाहिए।

उत्तर

D · व्यवहार श्रेणियों को परिष्कृत करना और पर्यवेक्षकों को प्रशिक्षित करना, फिर सहमति फिर से जाँचना

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 17.26

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 240/7 = 34.29

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−8.286)² + (−11.29)² + (−22.29)² + 24.71² + 12.71² + 14.71² + (−10.29)² = 1787

मानक विचलन

s = √(1787/6) = 17.26

उत्तर

s = 17.26

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.7257

मानकीकृत करें

z = 0.6

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

उत्तर

P = 0.7257

5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 0.7

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7

प्रसरण

Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7

उत्तर

Var(X) = 0.7

6.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 3.6

X का फैलाव

μ = 2.6, Var(X) = 1.44, σ_X = 1.2

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |3|·1.2 = 3.6

उत्तर

σ_Y = 3.6

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 3·2.6 + 20 = 27.8।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.6295

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (468 − 500)/40 = −0.8

z₂ = (540 − 500)/40 = 1

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1) − Φ(−0.8) = 0.8413 − 0.2119 = 0.6295

उत्तर

P = 0.6295

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 73.42 अंक

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

वापस x पर

x = 65 + 0.8416·10 = 73.42 अंक

उत्तर

x = 73.42 अंक

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = −20.18 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 136.5 − 151.5 = −15

मानक त्रुटि

SE = √(15²/40 + 9²/60) = 2.641

त्रुटि सीमा

E = 1.96·2.641 = 5.176

अंतराल

−15 ± 5.176 → [−20.18, −9.824]

उत्तर

निचली सीमा = −20.18 h

अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 568

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·37/4)² = 567.8

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 568

उत्तर

n = 568

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = −2.794

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

अंतर की मानक त्रुटि

SE = √(14²/30 + 10²/60) = √8.2 = 2.864

परीक्षण सांख्यिकी

z = (107.5 − 115.5)/2.864 = −2.794

उत्तर

z = −2.794

|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 100.5

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 1.96·5/√100 = 0.98

अंतराल सीमा

U = 99.5 + 0.98 = 100.5

उत्तर

U = 100.5

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9821

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 598 − 30·83/5 = 100

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1637 − 83²/5 = 259.2

सहसंबंध गुणांक

r = 100/√(40·259.2) = 0.9821

उत्तर

r = 0.9821

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −2.7

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 122/5 = 24.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156

समाश्रयण रेखा

b = 156/40 = 3.9

a = 24.4 − 3.9·6 = 1

ŷ = 1 + 3.9·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 1 + 3.9·3 = 12.7

अवशिष्ट

e = 10 − 12.7 = −2.7

उत्तर

e = −2.7

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 30.86

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 92·52/155 = 30.86

उत्तर

E = 30.86

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 3.5

अपेक्षित गणनाएँ

आयु 18–30: 32, 8

आयु 31–50: 80, 20

आयु 51+: 32, 8

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (32 − 32)²/32 + (8 − 8)²/8 + (76 − 80)²/80 + (24 − 20)²/20 + (36 − 32)²/32 + (4 − 8)²/8

χ² = 3.5

निर्णय

df = 2, χ²_crit = 9.210

3.5 < 9.210

उत्तर

χ² = 3.5

χ² क्रांतिक मान से कम है, इसलिए H₀ अस्वीकृत नहीं है: संबंध का कोई सार्थक प्रमाण नहीं है।

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