मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

प्रयोगकर्ता पक्षपात सबसे सीधे किससे घटता है?

Aआँकड़े एकत्र करने के लिए ऐसे शोधकर्ता का उपयोग जो परिकल्पना या स्थितियाँ नहीं जानता
Bकेवल स्वयंसेवकों का उपयोग
Cएक-पुच्छीय परिकल्पना का उपयोग
Dबड़े प्रतिदर्श का उपयोग

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता एकाग्रता पर शोर के प्रभाव को मापता है। संयोग से शोर वाली स्थिति के प्रतिभागियों का परीक्षण सुबह और शांत स्थिति का दोपहर बाद हुआ। समस्या क्या है?

Aआँकड़े नामित स्तर पर हैं
Bदिन का समय आश्रित चर है
Cअध्ययन में बहुत अधिक स्थितियाँ हैं
Dदिन का समय एक भ्रामक चर है

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 26, 49, 11, 44, 16, 23।

n = 6

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 34 से कम है?

μ = 50σ = 8x = 34

P =

5.प्रायिकतामध्यम

एक निष्पक्ष पासा 8 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 8

P =

6.प्रायिकताकठिन

6 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.2 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 6p = 0.2

P =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 178.35 और 181.5 cm के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 178σ = 7x₁ = 178.35x₂ = 181.5

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

थैलों के भार औसत 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 30% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 250 gσ = 5 g30%

x = g

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

30 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 75 और मानक विचलन s = 6.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 30x̄ = 75s = 6.595%t(29) = 2.045

निचली सीमा =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 39 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2 हो?

σ = 39E = 295%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

81 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 100.4 और प्रतिदर्श मानक विचलन 5 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 100.4s = 5n = 81

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2 हो? मानक विचलन 8 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 8E = 299%

n =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (6, 52) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(6, 52)

e =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “छात्र, कार” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 105स्तंभ योग = 42N = 166

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

4 पंक्तियों और 4 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

4 × 4

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · आँकड़े एकत्र करने के लिए ऐसे शोधकर्ता का उपयोग जो परिकल्पना या स्थितियाँ नहीं जानता

यह उत्तर क्यों है

परिकल्पना जानने वाले प्रयोगकर्ता अनजाने में प्रतिभागियों या अभिलेखों को प्रभावित कर सकते हैं। एकल- या द्वि-अंध प्रक्रियाएँ और मानकीकृत निर्देश इसे घटाते हैं।

उत्तर

A · आँकड़े एकत्र करने के लिए ऐसे शोधकर्ता का उपयोग जो परिकल्पना या स्थितियाँ नहीं जानता

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · दिन का समय एक भ्रामक चर है

यह उत्तर क्यों है

चूँकि शोर और परीक्षण का समय साथ-साथ बदलते हैं, कोई भी अंतर दोनों में से किसी के कारण हो सकता है। परीक्षण समयों का यादृच्छिक आवंटन या समय स्थिर रखना भ्रामक चर को हटा देगा।

उत्तर

D · दिन का समय एक भ्रामक चर है

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 15.22

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 169/6 = 28.17

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−2.167)² + 20.83² + (−17.17)² + 15.83² + (−12.17)² + (−5.167)² = 1159

मानक विचलन

s = √(1159/5) = 15.22

उत्तर

s = 15.22

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.02275

मानकीकृत करें

z = −2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275

5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.7674

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

उत्तर

P = 0.7674

6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.6554

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.8⁶ = 0.2621

P(X = 1) = 6·0.2·0.8⁵ = 0.3932

जोड़ें

P = 0.2621 + 0.3932 = 0.6554

उत्तर

P = 0.6554

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.1715

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (178.35 − 178)/7 = 0.05

z₂ = (181.5 − 178)/7 = 0.5

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.5) − Φ(0.05) = 0.6915 − 0.5199 = 0.1715

उत्तर

P = 0.1715

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 247.4 g

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.3

सारणी से z

z ≈ −0.52

मूल इकाइयों में वापस

x = 250 − 0.52·5 = 247.4 g

उत्तर

x = 247.4 g

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 72.57

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 29, t = 2.045

त्रुटि सीमा

E = 2.045·6.5/√30 = 2.427

अंतराल

75 ± 2.427 → [72.57, 77.43]

उत्तर

निचली सीमा = 72.57

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 1461

n ज्ञात करें

n = (1.96·39/2)² = 1461

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 1461

उत्तर

n = 1461

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 0.72

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 5/√81 = 5/9 = 0.5556

परीक्षण सांख्यिकी

t = (100.4 − 100)/0.5556 = 0.72

उत्तर

t = 0.72

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 107

n ज्ञात करें

n = (2.576·8/2)² = 106.2

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 107

उत्तर

n = 107

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9909

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 296/5 = 59.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 315

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1123

सहसंबंध गुणांक

r = 315/√(90·1123) = 0.9909

उत्तर

r = 0.9909

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −4.1

माध्य

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 265/5 = 53

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

समाश्रयण रेखा

b = 124/40 = 3.1

a = 53 − 3.1·5 = 37.5

ŷ = 37.5 + 3.1·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 37.5 + 3.1·6 = 56.1

अवशिष्ट

e = 52 − 56.1 = −4.1

उत्तर

e = −4.1

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 26.57

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 105·42/166 = 26.57

उत्तर

E = 26.57

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 9

स्वातंत्र्य कोटि

df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9

उत्तर

df = 9

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