मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक नई अवसाद प्रश्नावली भविष्यवाणी करती है कि अगले वर्ष कौन-से छात्र उपचार लेंगे। यह किस प्रकार की वैधता का समर्थन करता है?

Aभविष्यसूचक वैधता (predictive validity)
Bविषयवस्तु वैधता (content validity)
Cसमवर्ती वैधता
Dआभासी वैधता (face validity)

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक मनोविज्ञान विभाग केवल प्रारंभिक मनोविज्ञान पाठ्यक्रमों से प्रतिभागी भर्ती करता है। आलोचक कहते हैं कि प्रतिदर्श "WEIRD" हैं। इसका क्या अर्थ है?

Aऐसे प्रतिदर्श जो अध्ययनों से जल्दी हट जाते हैं
Bऐसे प्रतिदर्श जिनका व्यवहार असामान्य रूप से अजीब है
Cपश्चिमी (Western), शिक्षित (Educated), औद्योगीकृत (Industrialised), समृद्ध (Rich) और लोकतांत्रिक (Democratic) प्रतिदर्श जो सामान्यीकृत नहीं भी हो सकते
Dभारित यादृच्छिक विधियों से भर्ती किए गए प्रतिदर्श

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 14, 32, 37, 48, 60, 30, 47।

n = 7

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 50 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 42 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 50σ = 8x = 42

z =

5.प्रायिकतामध्यम

एक निष्पक्ष पासा 5 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 5

P =

6.प्रायिकताकठिन

एक परीक्षा में 9 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.2 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 9p = 0.2k = 4

P =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 12 min और मानक विचलन 1.5 min है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 20 min और मानक विचलन 2 min है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 28.3 min से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 28.3 min

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 95% आते हैं (95वाँ शततमक)।

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

16 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 1 और मानक विचलन 7.9 है। माध्य अंतर के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 16d̄ = 1s_d = 7.999%t(15) = 2.947

ऊपरी सीमा = mmHg

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 23 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो?

σ = 23E = 0.599%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

81 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 96.53 और प्रतिदर्श मानक विचलन 12 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 96.53s = 12n = 81

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2 हो? मानक विचलन 12 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 12E = 295%

n =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 20Σy = 170Σx² = 90Σy² = 5874Σxy = 705

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 4.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 4.5

ŷ =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “शहरी, मध्यम” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 104स्तंभ योग = 58N = 199

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

2 पंक्तियों और 3 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

2 × 3

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · भविष्यसूचक वैधता (predictive validity)

यह उत्तर क्यों है

भविष्यसूचक वैधता तब दिखती है जब अंक किसी बाद के मानदंड की भविष्यवाणी करते हैं। समवर्ती वैधता उसी समय मापे गए मानदंड का उपयोग करती है।

उत्तर

A · भविष्यसूचक वैधता (predictive validity)

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · पश्चिमी (Western), शिक्षित (Educated), औद्योगीकृत (Industrialised), समृद्ध (Rich) और लोकतांत्रिक (Democratic) प्रतिदर्श जो सामान्यीकृत नहीं भी हो सकते

यह उत्तर क्यों है

Henrich और सहयोगियों ने ध्यान दिलाया कि अधिकांश मनोविज्ञान प्रतिभागी WEIRD समाजों से आते हैं, जो मानवता का प्रतिनिधित्व नहीं करते, जिससे जनसंख्या वैधता को ख़तरा है।

उत्तर

C · पश्चिमी (Western), शिक्षित (Educated), औद्योगीकृत (Industrialised), समृद्ध (Rich) और लोकतांत्रिक (Democratic) प्रतिदर्श जो सामान्यीकृत नहीं भी हो सकते

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.95

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 268/7 = 38.29

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−24.29)² + (−6.286)² + (−1.286)² + 9.714² + 21.71² + (−8.286)² + 8.714² = 1341

मानक विचलन

s = √(1341/6) = 14.95

उत्तर

s = 14.95

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −1

मानकीकृत करें

z = (42 − 50)/8 = −1

उत्तर

z = −1

5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.5981

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)⁵ = 0.4019

P = 1 − 0.4019 = 0.5981

उत्तर

P = 0.5981

6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.06606

द्विपद सूत्र

P(X = 4) = 126·0.2⁴·0.8⁵ = 126·0.0016·0.3277 = 0.06606

उत्तर

P = 0.06606

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9306

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

मानकीकृत करें

z = (28.3 − 32)/2.5 = −1.48

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(−1.48) = 1 − 0.06944 = 0.9306

उत्तर

P = 0.9306

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 189.5 cm

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

वापस x पर

x = 178 + 1.645·7 = 189.51 cm

उत्तर

x = 189.51 cm

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 6.82 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 15, t = 2.947

त्रुटि सीमा

E = 2.947·7.9/√16 = 5.82

अंतराल

1 ± 5.82 → [−4.82, 6.82]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 6.82 mmHg

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 14042

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·23/0.5)² = 14041

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 14042

उत्तर

n = 14042

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.602

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333

परीक्षण सांख्यिकी

t = (96.53 − 100)/1.333 = −2.602

उत्तर

t = −2.602

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 139

n ज्ञात करें

n = (1.96·12/2)² = 138.3

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 139

उत्तर

n = 139

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.8154

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 705 − 20·170/5 = 25

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 5874 − 170²/5 = 94

सहसंबंध गुणांक

r = 25/√(10·94) = 0.8154

उत्तर

r = 0.8154

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 17.4

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 99/5 = 19.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16

समाश्रयण रेखा

b = −16/10 = −1.6

a = 19.8 − (−1.6)·3 = 24.6

ŷ = 24.6 − 1.6·x

पूर्वानुमान

ŷ = 24.6 + (−1.6)·4.5 = 17.4

उत्तर

ŷ = 17.4

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 30.31

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 104·58/199 = 30.31

उत्तर

E = 30.31

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 2

स्वातंत्र्य कोटि

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

उत्तर

df = 2

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