मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

अवलोकन शोध में घटना प्रतिचयन (event sampling) का अर्थ है:

  1. Aहर बार किसी निर्दिष्ट व्यवहार के होने को दर्ज करना
  2. Bप्रतिभागियों को यादृच्छिक रूप से चुनना
  3. Cकेवल प्रतिभागियों द्वारा बताई गई घटनाएँ दर्ज करना
  4. Dकेवल निश्चित समय अंतरालों पर व्यवहार दर्ज करना
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

दो पर्यवेक्षक एक खेल के मैदान में आक्रामक कृत्यों को दर्ज करते हैं और उनकी गणनाओं का सहसंबंध r = 0.45 है। शोधकर्ता को क्या करना चाहिए?

  1. Aआँकड़े स्वीकार करना क्योंकि कोई भी धनात्मक सहसंबंध पर्याप्त है
  2. Bव्यवहार श्रेणियों को परिष्कृत करना और पर्यवेक्षकों को प्रशिक्षित करना, फिर सहमति फिर से जाँचना
  3. Cदोनों में से केवल बड़ी गणना का उपयोग करना
  4. Dएक-पुच्छीय परिकल्पना पर जाना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
1015202530354045

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 39, 13, 46, 45, 16, 10।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 75 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 440 से अधिक है?

μ = 500σ = 75x = 440
P =
5.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2?3?4?5?6?7P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 7 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 7
P =
6.प्रायिकताकठिन
n = 7, p = 0.7: P(X = 4) = ?k01234567

एक परीक्षा में 7 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.7 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 7p = 0.7k = 4
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123z−z और z के बीच छायांकित क्षेत्रफल = 0.9729

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.9729 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.9729
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
10 cm0X − Y?

किसी समूह में पुरुषों की ऊँचाई X और महिलाओं की ऊँचाई Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 180 cm और मानक विचलन 10 cm है, Y का माध्य 170 cm और मानक विचलन 12 cm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 5.490%, n = 64x̄E₂ = ?95%, n = 64

ज्ञात σ और 64 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 5.4 है। उन्हीं आँकड़ों से 95% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

90%n₁ = 64E₁ = 5.495%
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0295%

दोषपूर्ण उत्पादों के अनुपात के बारे में पहले से कुछ ज्ञात नहीं है। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.02 हो?

p = 0.5E = 0.0295%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−1.31.3p = ?

एक समष्टि का माध्य 120 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 16 ज्ञात है। 64 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 117.4 है। H₀: μ = 120 बनाम H₁: μ ≠ 120 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 120σ = 16n = 64x̄ = 117.4H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2 हो? मानक विचलन 12 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 12E = 290%
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy362475583679790892xy46860708090

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 33Σy = 481Σx² = 199Σy² = 39163Σxy = 2741
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy264861381610221225xy5101020x = 3

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 3 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 3
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
हाँनहींकुलपुरुष273360महिलाएँ154560कुल4278120

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1202 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 4 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 4
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · हर बार किसी निर्दिष्ट व्यवहार के होने को दर्ज करना

यह उत्तर क्यों है

घटना प्रतिचयन लक्ष्य व्यवहारों की हर घटना गिनता है। समय प्रतिचयन निर्धारित अंतरालों पर, जैसे हर 30 सेकंड, होने वाली बातें दर्ज करता है।

उत्तर

A · हर बार किसी निर्दिष्ट व्यवहार के होने को दर्ज करना
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · व्यवहार श्रेणियों को परिष्कृत करना और पर्यवेक्षकों को प्रशिक्षित करना, फिर सहमति फिर से जाँचना

यह उत्तर क्यों है

कम अंतर-पर्यवेक्षक विश्वसनीयता का अर्थ है कि श्रेणियाँ असंगत रूप से लागू हो रही हैं। स्पष्ट संक्रियात्मक परिभाषाएँ और अभ्यास सत्र मुख्य आँकड़ा संग्रह से पहले सहमति बढ़ाने चाहिए।

उत्तर

B · व्यवहार श्रेणियों को परिष्कृत करना और पर्यवेक्षकों को प्रशिक्षित करना, फिर सहमति फिर से जाँचना
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.89

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 169/6 = 28.17

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 10.83² + (−15.17)² + 17.83² + 16.83² + (−12.17)² + (−18.17)² = 1427

मानक विचलन

s = √(1427/5) = 16.89

उत्तर

s = 16.89
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.7881

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −0.8

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−0.8) = 0.2119
P = 1 − 0.2119 = 0.7881

उत्तर

P = 0.7881
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.7209

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209

उत्तर

P = 0.7209
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.2269

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 4) = 35·0.74·0.33 = 35·0.2401·0.027 = 0.2269

उत्तर

P = 0.2269
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 2.21

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.9729)/2 = 0.9864

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9864 खोजें और z पढ़ें।

z = 2.21

उत्तर

z = 2.21
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7389

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

उत्तर

P = 0.7389
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 6.434

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(64/64) = 1.191

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 5.4·1.191 = 6.434

उत्तर

E₂ = 6.434
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 2401

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.96²·0.5·0.5/0.02² = 2401

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 2401

उत्तर

n = 2401
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.1936

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 16/√64 = 2
z = (117.4 − 120)/2 = −1.3

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(1.3) = 0.9032
1 − Φ(1.3) = 0.0968

p-मान

p = 2·0.0968 = 0.1936

उत्तर

p = 0.1936

p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 98

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (1.645·12/2)² = 97.42

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 98

उत्तर

n = 98
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9298

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 2741 − 33·481/6 = 95.5
Sxx = 199 − 33²/6 = 17.5
Syy = 39163 − 481²/6 = 602.8

सहसंबंध गुणांक

r = 95.5/√(17.5·602.8) = 0.9298

उत्तर

r = 0.9298
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 7

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 90/6 = 15

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

समाश्रयण रेखा

b = 140/70 = 2
a = 15 − 2·7 = 1
ŷ = 1 + 2·x

पूर्वानुमान

ŷ = 1 + 2·3 = 7

उत्तर

ŷ = 7
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 5.275

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

पुरुष: 60·42/120 = 21, 60·78/120 = 39
महिलाएँ: 60·42/120 = 21, 60·78/120 = 39

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (27 − 21)²/21 + (33 − 39)²/39 + (15 − 21)²/21 + (45 − 39)²/39
χ² = 5.275

उत्तर

χ² = 5.275

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 3

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 4 − 1 = 3

उत्तर

df = 3

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