मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

माँग विशेषताएँ (डिमांड कैरेक्टरिस्टिक्स) क्या हैं?

  1. Aअध्ययन शुरू होने से पहले नैतिकता समिति द्वारा रखी जाने वाली औपचारिक माँगें
  2. Bप्रतिदर्श की विशेषताएँ
  3. Cकिसी परीक्षण की सांख्यिकीय आवश्यकताएँ
  4. Dऐसे संकेत जिनसे प्रतिभागी उद्देश्य का अनुमान लगाकर अपना व्यवहार बदल लेते हैं
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

व्याख्यात्मक परिघटनात्मक विश्लेषण (IPA) का मुख्य उद्देश्य क्या है?

  1. Aप्रतिक्रिया समय को सटीक रूप से मापना
  2. Bबड़े प्रतिदर्शों के साथ कारण-संबंधी परिकल्पनाओं का परीक्षण
  3. Cपाठों में शब्दों की आवृत्ति गिनना
  4. Dयह जानना कि व्यक्ति अपने जिए हुए अनुभवों का अर्थ कैसे निकालते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 59, 41, 13, 25, 48, 48।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 75 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 350 से अधिक है?

μ = 500σ = 75x = 350
P =
5.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2?3?4P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 4 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 4
P =
6.प्रायिकताकठिन
n = 12, p = 0.1: P(X ≤ 1) = ?k0123456789101112

12 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.1 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 12p = 0.1
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
174.85190.95P = ?

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 174.85 और 190.95 cm के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 178σ = 7x1 = 174.85x2 = 190.95
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
0.05 mm0D − d?

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.05 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.05 mm, σ = 0.015 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 9, s = 1.5LU = ?x̄ = 100.5E90%

9 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 100.5 और मानक विचलन s = 1.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 9x̄ = 100.5s = 1.590%t(8) = 1.86
ऊपरी सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 38, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

समष्टि मानक विचलन 38 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1 हो?

σ = 38E = 199%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −1.98401.984

100 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 198.7 और प्रतिदर्श मानक विचलन 5 है। H₀: μ = 200 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 200x̄ = 198.7s = 5n = 100
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 80 बनाम H₁: μ > 80 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.05 पर 36 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 18 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 85.4 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 80μ = 85.4σ = 18n = 36α = 0.05
1 − β = %
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy3585647769781178xy510607080

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy237338439551650xy246404550x = 2.5

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 2.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 2.5
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
बससाइकिलकारकुलछात्र32411083कर्मचारी1784469कुल494954152

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “कर्मचारी, साइकिल” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 69स्तंभ योग = 49N = 152
E =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

2 पंक्तियों और 11 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

2 × 11
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · ऐसे संकेत जिनसे प्रतिभागी उद्देश्य का अनुमान लगाकर अपना व्यवहार बदल लेते हैं

यह उत्तर क्यों है

जब प्रतिभागी परिकल्पना समझ जाते हैं तो वे उसे पुष्ट करने या बिगाड़ने के लिए व्यवहार कर सकते हैं, जिससे वैधता को ख़तरा होता है। छल और अंध प्रक्रियाएँ इसे घटाती हैं।

उत्तर

D · ऐसे संकेत जिनसे प्रतिभागी उद्देश्य का अनुमान लगाकर अपना व्यवहार बदल लेते हैं
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · यह जानना कि व्यक्ति अपने जिए हुए अनुभवों का अर्थ कैसे निकालते हैं

यह उत्तर क्यों है

IPA छोटे, समरूप प्रतिदर्शों का गहराई से अध्ययन करता है, यह जाँचते हुए कि प्रतिभागी महत्वपूर्ण अनुभवों की व्याख्या कैसे करते हैं, और शोधकर्ता उनके अर्थ-निर्माण की व्याख्या करता है।

उत्तर

D · यह जानना कि व्यक्ति अपने जिए हुए अनुभवों का अर्थ कैसे निकालते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.96

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 234/6 = 39

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 20² + 2² + (−26)² + (−14)² + 9² + 9² = 1438

मानक विचलन

s = √(1438/5) = 16.96

उत्तर

s = 16.96
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.9772

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772

उत्तर

P = 0.9772
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.5177

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)4 = 0.4823
P = 1 − 0.4823 = 0.5177

उत्तर

P = 0.5177
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.659

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.912 = 0.2824
P(X = 1) = 12·0.1·0.911 = 0.3766

जोड़ें

P = 0.2824 + 0.3766 = 0.659

उत्तर

P = 0.659
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.6415

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (174.85 − 178)/7 = −0.45
z₂ = (190.95 − 178)/7 = 1.85

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.85) − Φ(−0.45) = 0.9678 − 0.3264 = 0.6415

उत्तर

P = 0.6415
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9909

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02121 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.05)/0.02121 = −2.36

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−2.36) = 0.9909

उत्तर

P = 0.9909
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 101.4

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 8, t = 1.86

त्रुटि सीमा

E = 1.86·1.5/√9 = 0.93

अंतराल

100.5 ± 0.93 → [99.57, 101.4]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 101.4
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 9583

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·38/1)² = 9582

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 9583

उत्तर

n = 9583
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.6

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5

परीक्षण सांख्यिकी

t = (198.7 − 200)/0.5 = −2.6

उत्तर

t = −2.6
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| > 1.984, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 56.16 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 18/√36 = 3
x̄c = 80 + 1.645·3 = 84.94

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (84.94 − 85.4)/3 = −0.155

शक्ति

शक्ति = P(Z > −0.155) = 56.16%
1 − β = 56.16%

उत्तर

1 − β = 56.16%
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.925

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 354/5 = 70.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108
Syy = Σ(y − ȳ)² = 340.8

सहसंबंध गुणांक

r = 108/√(40·340.8) = 0.925

उत्तर

r = 0.925
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 37.15

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 215/5 = 43

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39

समाश्रयण रेखा

b = 39/10 = 3.9
a = 43 − 3.9·4 = 27.4
ŷ = 27.4 + 3.9·x

पूर्वानुमान

ŷ = 27.4 + 3.9·2.5 = 37.15

उत्तर

ŷ = 37.15
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 22.24

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 69·49/152 = 22.24

उत्तर

E = 22.24
16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 10

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

उत्तर

df = 10

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