मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

पुनरावृत्त माप डिज़ाइन में क्रम प्रभावों को किससे नियंत्रित किया जा सकता है?

Aप्रति-संतुलन (काउंटरबैलेंसिंग)
Bयादृच्छिक प्रतिचयन
Cएकल-अंध प्रक्रिया
Dकेवल बड़ा प्रतिदर्श

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

अत्यधिक उच्च चिंता अंकों के कारण चुने गए रोगी दूसरे परीक्षण में बिना उपचार के भी कम अंक दिखाते हैं। सबसे संभावित व्याख्या क्या है?

Aहॉथॉर्न प्रभाव
Bप्रति-संतुलन
Cमाध्य की ओर प्रतिगमन (regression to the mean)
Dछत प्रभाव

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 24, 50, 45, 36, 17, 31।

n = 6

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 170 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 166 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 170σ = 8x = 166

z =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.35, 0.25, 0.05, 0.2

σ =

6.प्रायिकताकठिन

एक परीक्षा में 11 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.2 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 11p = 0.2k = 4

P =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

सामान वाले यात्री के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 85 kg और मानक विचलन 12 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 12 का कुल द्रव्यमान 978.4 kg से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 978.4 kg

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

लाइन 1 के उत्पाद का द्रव्यमान X और लाइन 2 के उत्पाद का Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 500 g और मानक विचलन 8 g है, Y का माध्य 490 g और मानक विचलन 6 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

8 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 5.9 और मानक विचलन 2.7 है। माध्य अंतर के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 8d̄ = 5.9s_d = 2.795%t(7) = 2.365

निचली सीमा = mmHg

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.4 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.01 हो?

p ≈ 0.4E = 0.0190%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 40 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 88 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 10 mm है। लाइन 2: 80 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 92.6 mm, ज्ञात मानक विचलन 12 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

n₁ = 40x̄₁ = 88 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 80x̄₂ = 92.6 mmσ₂ = 12 mm

z =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक परीक्षण में उपचार A वाले 200 में से 100 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 100 में से 59 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

x₁ = 100n₁ = 200x₂ = 59n₂ = 100

z =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6

r² =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (25, 50) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(25, 50)

e =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1802 × 2

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 11 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 11

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · प्रति-संतुलन (काउंटरबैलेंसिंग)

यह उत्तर क्यों है

प्रति-संतुलन अभ्यास और थकान के प्रभावों को स्थितियों में समान रूप से बाँट देता है।

उत्तर

A · प्रति-संतुलन (काउंटरबैलेंसिंग)

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · माध्य की ओर प्रतिगमन (regression to the mean)

यह उत्तर क्यों है

जब लोगों को चरम अंकों के लिए चुना जाता है, तो मापन त्रुटि और संयोग के कारण उनके बाद के अंक औसत की ओर जाते हैं। नियंत्रण समूह इसे उपचार प्रभावों से अलग करने में मदद करते हैं।

उत्तर

C · माध्य की ओर प्रतिगमन (regression to the mean)

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.48

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 203/6 = 33.83

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−9.833)² + 16.17² + 11.17² + 2.167² + (−16.83)² + (−2.833)² = 778.8

मानक विचलन

s = √(778.8/5) = 12.48

उत्तर

s = 12.48

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −0.5

मानकीकृत करें

z = (166 − 170)/8 = −0.5

उत्तर

z = −0.5

5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.327

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.05 + 5·0.2 = 2.8

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.05 + 25·0.2 = 9.6

प्रसरण

Var(X) = 9.6 − 2.8² = 1.76

σ = √1.76 = 1.327

उत्तर

σ = 1.327

6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.1107

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 4) = 330·0.2⁴·0.8⁷ = 330·0.0016·0.2097 = 0.1107

उत्तर

P = 0.1107

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μ_T = 1020 kg, σ_T = 12·√12 = 41.57 kg

मानकीकृत करें

z = (978.4 − 1020)/41.57 = −1

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

अंतर का बंटन

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/10 = −1

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 3.642 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 7, t = 2.365

त्रुटि सीमा

E = 2.365·2.7/√8 = 2.258

अंतराल

5.9 ± 2.258 → [3.642, 8.158]

उत्तर

निचली सीमा = 3.642 mmHg

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 6495

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.645²·0.4·0.6/0.01² = 6494

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 6495

उत्तर

n = 6495

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = −2.218

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

अंतर की मानक त्रुटि

SE = √(10²/40 + 12²/80) = √4.3 = 2.074

परीक्षण सांख्यिकी

z = (88 − 92.6)/2.074 = −2.218

उत्तर

z = −2.218

|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = −1.472

प्रतिदर्श अनुपात

p̂₁ = 100/200 = 0.5

p̂₂ = 59/100 = 0.59

p̂ = 159/300 = 0.53

H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि

SE = √(0.53·0.47·(1/200 + 1/100)) = 0.06113

परीक्षण सांख्यिकी

z = (0.5 − 0.59)/0.06113 = −1.472

उत्तर

z = −1.472

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9979

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 135/6 = 22.5

ȳ = 620/6 = 103.3

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 732

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3409

निर्धारण गुणांक

r² = 732²/(157.5·3409) = 0.9979

उत्तर

r² = 0.9979

y के विचरण का लगभग 99.79% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −5.452

माध्य

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 259/6 = 43.17

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 215

समाश्रयण रेखा

b = 215/70 = 3.071

a = 43.17 − 3.071·21 = −21.33

ŷ = −21.33 + 3.071·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = −21.33 + 3.071·25 = 55.45

अवशिष्ट

e = 50 − 55.45 = −5.452

उत्तर

e = −5.452

बिंदु रेखा के नीचे है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 0.4762

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

नई दवा: 60·54/180 = 18, 60·126/180 = 42

प्लेसिबो: 120·54/180 = 36, 120·126/180 = 84

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (20 − 18)²/18 + (40 − 42)²/42 + (34 − 36)²/36 + (86 − 84)²/84

χ² = 0.4762

उत्तर

χ² = 0.4762

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 10

स्वातंत्र्य कोटि

df = 11 − 1 = 10

उत्तर

df = 10

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