वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम
जब आँकड़े क्रमसूचक हों या स्पष्ट रूप से सामान्य न हों, तो कौन-सा परीक्षण दो स्वतंत्र समूहों की तुलना करता है?
- Aविलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण
- Bकाई-वर्ग परीक्षण
- Cस्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण
- Dमान–व्हिटनी U परीक्षण
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन
ग्राउंडेड थ्योरी में आँकड़ा संग्रह कब तक चलता है?
- Aजब तक कम से कम 1,000 प्रतिभागियों का साक्षात्कार न हो जाए
- Bजब तक मूल परिकल्पना की पुष्टि न हो जाए
- Cजब तक 0.05 से कम p-मान न मिल जाए
- Dजब तक सैद्धांतिक संतृप्ति (theoretical saturation) न हो जाए और नए आँकड़े कोई नई श्रेणी न जोड़ें
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 24, 12, 17, 60, 35।
n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 80 से अधिक है?
μ = 60σ = 10x = 80
P =
5.प्रायिकतामध्यम
दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.25, 0.05, 0.35
Var(X) =
6.प्रायिकताकठिन
एक परीक्षा में 12 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.7 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?
n = 12p = 0.7k = 4
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.7775 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
A = 0.7775
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 80% आते हैं (80वाँ शततमक)।
μ = 500σ = 40P = 80%
x = h
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
20 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 9.1 और मानक विचलन 6.4 है। माध्य अंतर के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।
n = 20d̄ = 9.1sd = 6.495%t(19) = 2.093
ऊपरी सीमा = mmHg
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
21 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 4.5 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 20 के साथ χ² बंटन का 2.5% 9.591 से नीचे और 2.5% 34.17 से ऊपर है।
n = 21s = 4.5 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
एक समष्टि का माध्य 50 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 32 ज्ञात है। 64 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 53.76 है। H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ > 50 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।
μ₀ = 50σ = 32n = 64x̄ = 53.76H₁: μ > μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
25 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 44.8 है। समष्टि मानक विचलन 20 है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।
x̄ = 44.8σ = 20n = 2590%
L =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 3 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 5x = 3
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।
N = 1002 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 9 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।
α = 0.05
χ²crit =
3विलयन
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: D · मान–व्हिटनी U परीक्षण
यह उत्तर क्यों है
मान–व्हिटनी U परीक्षण दो असंबंधित समूहों के बीच कोटियों की तुलना करता है। विलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण संबंधित प्रतिदर्शों के लिए है।
उत्तर
D · मान–व्हिटनी U परीक्षण
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: D · जब तक सैद्धांतिक संतृप्ति (theoretical saturation) न हो जाए और नए आँकड़े कोई नई श्रेणी न जोड़ें
यह उत्तर क्यों है
ग्राउंडेड थ्योरी आगमनात्मक रूप से सिद्धांत विकसित करती है, आँकड़ों का संग्रह और कोडिंग साथ-साथ करती है, और जब नए आँकड़े श्रेणियों को आगे विकसित नहीं करते तो प्रतिचयन रोक देती है।
उत्तर
D · जब तक सैद्धांतिक संतृप्ति (theoretical saturation) न हो जाए और नए आँकड़े कोई नई श्रेणी न जोड़ें
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 19.06
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 148/5 = 29.6
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−5.6)² + (−17.6)² + (−12.6)² + 30.4² + 5.4² = 1453
मानक विचलन
s = √(1453/4) = 19.06
उत्तर
s = 19.06
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.02275
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = 2
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(2) = 0.9772
P = 1 − 0.9772 = 0.02275
उत्तर
P = 0.02275
5.प्रायिकता
उत्तर: Var(X) = 6.56
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य
μ = 0·0.35 + 2·0.25 + 4·0.05 + 6·0.35 = 2.8
वर्गों का माध्य
E(X²) = 0·0.35 + 4·0.25 + 16·0.05 + 36·0.35 = 14.4
प्रसरण
Var(X) = 14.4 − 2.8² = 6.56
उत्तर
Var(X) = 6.56
6.प्रायिकता
उत्तर: P = 0.007798
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
द्विपद सूत्र
P(X = 4) = 495·0.74·0.38 = 495·0.2401·6.561 × 10⁻⁵ = 0.007798
उत्तर
P = 0.007798
7.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: z = 1.22
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
z के बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = (1 + 0.7775)/2 = 0.8888
z-सारणी को उलटा पढ़ें
सारणी के भीतर 0.8888 खोजें और z पढ़ें।
z = 1.22
उत्तर
z = 1.22
8.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 533.7 h
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416
वापस x पर
x = 500 + 0.8416·40 = 533.66 h
उत्तर
x = 533.66 h
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: ऊपरी सीमा = 12.1 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
क्रांतिक मान
df = 19, t = 2.093
त्रुटि सीमा
E = 2.093·6.4/√20 = 2.995
अंतराल
9.1 ± 2.995 → [6.105, 12.1]
उत्तर
ऊपरी सीमा = 12.1 mmHg
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: σ = 6.498 µm
प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।
वर्गों का योग
(n − 1)s² = 20·4.5² = 405
σ² की सीमाएँ
405/34.17 = 11.85
405/9.591 = 42.23
σ की सीमा
σ = √42.23 = 6.498 µm
उत्तर
σ = 6.498 µm
σ के लिए 95% अंतराल: [3.443, 6.498] µm।
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: p = 0.1736
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
परीक्षण सांख्यिकी
SE = σ/√n = 32/√64 = 4
z = (53.76 − 50)/4 = 0.94
पुच्छ क्षेत्रफल
Φ(0.94) = 0.8264
1 − Φ(0.94) = 0.1736
p-मान
p = 0.1736
उत्तर
p = 0.1736
p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: L = 38.22
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
त्रुटि सीमा
E = 1.645·20/√25 = 6.58
अंतराल सीमा
L = 44.8 − 6.58 = 38.22
उत्तर
L = 38.22
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9506
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 359/5 = 71.8
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 294
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1063
सहसंबंध गुणांक
r = 294/√(90·1063) = 0.9506
उत्तर
r = 0.9506
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 2.85
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 39/5 = 7.8
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
समाश्रयण रेखा
b = 66/40 = 1.65
a = 7.8 − 1.65·6 = −2.1
ŷ = −2.1 + 1.65·x
पूर्वानुमान
ŷ = −2.1 + 1.65·3 = 2.85
उत्तर
ŷ = 2.85
15.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 11.33
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
शहरी: 40·50/100 = 20, 40·25/100 = 10, 40·25/100 = 10
ग्रामीण: 60·50/100 = 30, 60·25/100 = 15, 60·25/100 = 15
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (26 − 20)²/20 + (11 − 10)²/10 + (3 − 10)²/10 + (24 − 30)²/30 + (14 − 15)²/15 + (22 − 15)²/15
χ² = 11.33
उत्तर
χ² = 11.33
df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।
16.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ²crit = 15.51
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
स्वातंत्र्य कोटि
df = 9 − 1 = 8
तालिका
χ²crit(df = 8, α = 0.05) = 15.507
उत्तर
χ²crit = 15.507
यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।
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