मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

50 के माध्य के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल (confidence interval) 46 से 54 है। सबसे सटीक व्याख्या क्या है?

  1. A95% संभावना है कि प्रतिदर्श माध्य 50 है
  2. Bप्रतिदर्श के 95% व्यक्तिगत प्रतिभागियों ने इस माप पर 46 और 54 के बीच अंक प्राप्त किए
  3. Cप्रयुक्त प्रक्रिया ऐसे अंतराल बनाती है जिनमें 95% बार वास्तविक माध्य होता है
  4. Dपरिणाम सार्थक नहीं है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

कई शोधकर्ता क्यों तर्क देते हैं कि p-मानों को प्रभाव-आकार और विश्वास्यता अंतराल के साथ बताया जाना चाहिए?

  1. Aविश्वास्यता अंतराल केवल गुणात्मक शोध में आवश्यक हैं
  2. Bप्रभाव-आकार प्रतिदर्श आकार को सार्थकता के लिए अप्रासंगिक बना देते हैं
  3. Cp-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है
  4. Dp-मान परिकल्पना के सत्य होने की प्रायिकता दिखाते हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
3638404244464850525456

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 56, 48, 38, 42, 36।

n = 5
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 40 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 452 से कम है?

μ = 500σ = 40x = 452
P =
5.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2?3?4?5?6?7P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 7 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 7
P =
6.प्रायिकताकठिन
n = 8, p = 0.2: P(X = 1) = ?k012345678

एक परीक्षा में 8 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.2 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 1 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 8p = 0.2k = 1
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.0359

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.0359 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.0359
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
35455565758595अंकनीचे 90%

परीक्षा अंक औसत 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 90% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 65 अंकσ = 10 अंक90%
x = अंक
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 3.999%, n = 100x̄E₂ = ?90%, n = 200

ज्ञात σ और 100 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 3.9 है। 200 प्रेक्षणों पर आधारित 90% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

99%n₁ = 100E₁ = 3.990%n₂ = 200
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 27, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

समष्टि मानक विचलन 27 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो?

σ = 27E = 399%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−1.961.96z = ?

दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 30 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 70.5 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 20 mm है। लाइन 2: 80 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 80.8 mm, ज्ञात मानक विचलन 20 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

n₁ = 30x̄₁ = 70.5 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 80x̄₂ = 80.8 mmσ₂ = 20 mm
z =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1.5α = 0.05βσ = 6, शक्ति 90%, n = ?

α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 90% शक्ति के साथ माध्य में 1.5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 6 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.05शक्ति = 90%δ = 1.5σ = 6zα = 1.645zβ = 1.282
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy242347450552647752xy2464550

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 27Σy = 290Σx² = 139Σy² = 14090Σxy = 1331
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy34154875695611631375xy5104060x = 4

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 4 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 4
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
कोई दोष नहींमामूलीगंभीरकुलदिन की शिफ़्ट155728100रात की शिफ़्ट253342100कुल409070200

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2002 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
उत्तीर्णअनुत्तीर्णकुललाइन 17723100लाइन 2253560लाइन 3423880कुल14496240dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2403 × 2α = 0.01
χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · प्रयुक्त प्रक्रिया ऐसे अंतराल बनाती है जिनमें 95% बार वास्तविक माध्य होता है

यह उत्तर क्यों है

95% CI जनसंख्या प्राचल के लिए संभावित मानों का एक परास देता है। बड़े प्रतिदर्शों से मिलने वाले संकरे अंतराल का अर्थ है अधिक परिशुद्ध अनुमान।

उत्तर

C · प्रयुक्त प्रक्रिया ऐसे अंतराल बनाती है जिनमें 95% बार वास्तविक माध्य होता है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · p-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है

यह उत्तर क्यों है

p-मान प्रतिदर्श आकार पर बहुत निर्भर करता है और केवल यह बताता है कि शून्य परिकल्पना के अंतर्गत आँकड़े कितने आश्चर्यजनक हैं। प्रभाव-आकार परिमाण दिखाते हैं और अंतराल परिशुद्धता।

उत्तर

C · p-मान यह नहीं दिखाता कि प्रभाव कितना बड़ा या परिशुद्ध है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 8.124

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 220/5 = 44

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 12² + 4² + (−6)² + (−2)² + (−8)² = 264

मानक विचलन

s = √(264/4) = 8.124

उत्तर

s = 8.124
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.1151

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −1.2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151

उत्तर

P = 0.1151
5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.7209

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209

उत्तर

P = 0.7209
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.3355

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 1) = 8·0.21·0.87 = 8·0.2·0.2097 = 0.3355

उत्तर

P = 0.3355
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 1.8

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.0359 = 0.9641

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9641 खोजें और z पढ़ें।

z = 1.80

उत्तर

z = 1.80
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 77.8 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.9

सारणी से z

z ≈ 1.28

मूल इकाइयों में वापस

x = 65 + 1.28·10 = 77.8 अंक

उत्तर

x = 77.8 अंक
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 1.761

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(100/200) = 0.4515

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 3.9·0.4515 = 1.761

उत्तर

E₂ = 1.761
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 538

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·27/3)² = 537.5

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 538

उत्तर

n = 538
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = −2.406

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

अंतर की मानक त्रुटि

SE = √(20²/30 + 20²/80) = √18.33 = 4.282

परीक्षण सांख्यिकी

z = (70.5 − 80.8)/4.282 = −2.406

उत्तर

z = −2.406

|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 138

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((1.645 + 1.282)·6/1.5)² = 137.1

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 138

उत्तर

n = 138
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.7258

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 1331 − 27·290/6 = 26
Sxx = 139 − 27²/6 = 17.5
Syy = 14090 − 290²/6 = 73.33

सहसंबंध गुणांक

r = 26/√(17.5·73.33) = 0.7258

उत्तर

r = 0.7258
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 44.21

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 339/6 = 56.5

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 215

समाश्रयण रेखा

b = 215/70 = 3.071
a = 56.5 − 3.071·8 = 31.93
ŷ = 31.93 + 3.071·x

पूर्वानुमान

ŷ = 31.93 + 3.071·4 = 44.21

उत्तर

ŷ = 44.21
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 11.7

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

दिन की शिफ़्ट: 100·40/200 = 20, 100·90/200 = 45, 100·70/200 = 35
रात की शिफ़्ट: 100·40/200 = 20, 100·90/200 = 45, 100·70/200 = 35

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (15 − 20)²/20 + (57 − 45)²/45 + (28 − 35)²/35 + (25 − 20)²/20 + (33 − 45)²/45 + (42 − 35)²/35
χ² = 11.7

उत्तर

χ² = 11.7

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 22.32

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

लाइन 1: 60, 40
लाइन 2: 36, 24
लाइन 3: 48, 32

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (77 − 60)²/60 + (23 − 40)²/40 + (25 − 36)²/36 + (35 − 24)²/24 + (42 − 48)²/48 + (38 − 32)²/32
χ² = 22.32

निर्णय

df = 2, χ²crit = 9.210
22.32 > 9.210

उत्तर

χ² = 22.32

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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