मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक नई अवसाद प्रश्नावली भविष्यवाणी करती है कि अगले वर्ष कौन-से छात्र उपचार लेंगे। यह किस प्रकार की वैधता का समर्थन करता है?

Aविषयवस्तु वैधता (content validity)
Bभविष्यसूचक वैधता (predictive validity)
Cसमवर्ती वैधता
Dआभासी वैधता (face validity)

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

"बुद्धि" का एक परीक्षण मुख्य रूप से यह मापता है कि लोग कितनी तेज़ी से टाइप कर सकते हैं। किस प्रकार की वैधता की सबसे स्पष्ट कमी है?

Aसंरचना वैधता (construct validity)
Bपरीक्षण-पुनःपरीक्षण विश्वसनीयता
Cअंतर-मूल्यांकनकर्ता विश्वसनीयता
Dआंतरिक संगति

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 15, 60, 31, 22, 16।

n = 5

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 63.2 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 60σ = 8x = 63.2

z =

5.प्रायिकतामध्यम

11 लोगों के समूह से 2 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 11k = 2

N =

6.प्रायिकताकठिन

एक खेल खेलने का मूल्य €10 है। आप प्रायिकता 0.15 से €50 जीतते हैं और प्रायिकता 0.02 से €100; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €10€50: p = 0.15€100: p = 0.02

E(G) = €

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.3483 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.3483

z =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 80% आते हैं (80वाँ शततमक)।

μ = 65σ = 10P = 80%

x = अंक

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

15 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 67 और मानक विचलन s = 12 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 15x̄ = 67s = 1299%t(14) = 2.977

E =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 22 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो?

σ = 22E = 395%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

81 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 95.67 और प्रतिदर्श मानक विचलन 15 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 95.67s = 15n = 81

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक परीक्षण में उपचार A वाले 150 में से 105 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 100 में से 78 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

x₁ = 105n₁ = 150x₂ = 78n₂ = 100

z =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5

r² =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 16 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 16

x =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1802 × 3

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.01 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2603 × 2α = 0.01

χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · भविष्यसूचक वैधता (predictive validity)

यह उत्तर क्यों है

भविष्यसूचक वैधता तब दिखती है जब अंक किसी बाद के मानदंड की भविष्यवाणी करते हैं। समवर्ती वैधता उसी समय मापे गए मानदंड का उपयोग करती है।

उत्तर

B · भविष्यसूचक वैधता (predictive validity)

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · संरचना वैधता (construct validity)

यह उत्तर क्यों है

संरचना वैधता यह है कि क्या कोई माप वास्तव में अंतर्निहित संरचना को दर्शाता है। एक परीक्षण ग़लत चीज़ मापते हुए भी विश्वसनीय हो सकता है।

उत्तर

A · संरचना वैधता (construct validity)

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 18.57

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 144/5 = 28.8

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−13.8)² + 31.2² + 2.2² + (−6.8)² + (−12.8)² = 1379

मानक विचलन

s = √(1379/4) = 18.57

उत्तर

s = 18.57

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 0.4

मानकीकृत करें

z = (63.2 − 60)/8 = 0.4

उत्तर

z = 0.4

5.प्रायिकता

उत्तर: N = 55

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55

उत्तर

N = 55

6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = −0.5 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 40 (p = 0.15), 90 (p = 0.02), −10 (p = 0.83)

प्रत्याशित मान

E(G) = 40·0.15 + 90·0.02 − 10·0.83 = −0.5 €

उत्तर

E(G) = −0.5 €

ऋणात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आपका पैसा घटता है।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 0.39

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.3483 = 0.6517

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.6517 खोजें और z पढ़ें।

z = 0.39

उत्तर

z = 0.39

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 73.42 अंक

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

वापस x पर

x = 65 + 0.8416·10 = 73.42 अंक

उत्तर

x = 73.42 अंक

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 9.224

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 14, t = 2.977

त्रुटि सीमा

E = 2.977·12/√15 = 9.224

उत्तर

E = 9.224

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 207

n ज्ञात करें

n = (1.96·22/3)² = 206.6

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 207

उत्तर

n = 207

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.598

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 15/√81 = 15/9 = 1.667

परीक्षण सांख्यिकी

t = (95.67 − 100)/1.667 = −2.598

उत्तर

t = −2.598

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = −1.399

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

प्रतिदर्श अनुपात

p̂₁ = 105/150 = 0.7

p̂₂ = 78/100 = 0.78

p̂ = 183/250 = 0.732

H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि

SE = √(0.732·0.268·(1/150 + 1/100)) = 0.05718

परीक्षण सांख्यिकी

z = (0.7 − 0.78)/0.05718 = −1.399

उत्तर

z = −1.399

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9778

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 75/5 = 15

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 198

निर्धारण गुणांक

r² = 88²/(40·198) = 0.9778

उत्तर

r² = 0.9778

y के विचरण का लगभग 97.78% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 2.636

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 74/5 = 14.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

समाश्रयण रेखा

b = −33/10 = −3.3

a = 14.8 − (−3.3)·3 = 24.7

ŷ = 24.7 − 3.3·x

x के लिए हल करें

x = (16 − 24.7)/(−3.3) = 2.636

उत्तर

x = 2.636

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 2.906

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

दिन की शिफ़्ट: 80·27/180 = 12, 80·72/180 = 32, 80·81/180 = 36

रात की शिफ़्ट: 100·27/180 = 15, 100·72/180 = 40, 100·81/180 = 45

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (16 − 12)²/12 + (31 − 32)²/32 + (33 − 36)²/36 + (11 − 15)²/15 + (41 − 40)²/40 + (48 − 45)²/45

χ² = 2.906

उत्तर

χ² = 2.906

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 55.31

अपेक्षित गणनाएँ

लाइन 1: 64, 16

लाइन 2: 80, 20

लाइन 3: 64, 16

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (42 − 64)²/64 + (38 − 16)²/16 + (90 − 80)²/80 + (10 − 20)²/20 + (76 − 64)²/64 + (4 − 16)²/16

χ² = 55.31

निर्णय

df = 2, χ²_crit = 9.210

55.31 > 9.210

उत्तर

χ² = 55.31

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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