मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक अनुप्रस्थ अध्ययन एक ही समय पर 20, 40 और 60 वर्ष के लोगों की प्रौद्योगिकी उपयोग पर तुलना करता है। कौन-सी समस्या आयु तुलना को भ्रमित कर सकती है?

  1. Aअभ्यास प्रभाव
  2. Bक्रम प्रभाव
  3. Cसमूह-पीढ़ी प्रभाव (cohort effects)
  4. Dतल प्रभाव (floor effects)
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

ग्राउंडेड थ्योरी में आँकड़ा संग्रह कब तक चलता है?

  1. Aजब तक 0.05 से कम p-मान न मिल जाए
  2. Bजब तक मूल परिकल्पना की पुष्टि न हो जाए
  3. Cजब तक कम से कम 1,000 प्रतिभागियों का साक्षात्कार न हो जाए
  4. Dजब तक सैद्धांतिक संतृप्ति (theoretical saturation) न हो जाए और नए आँकड़े कोई नई श्रेणी न जोड़ें
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
2025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 16, 50, 25, 45, 59, 30।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 118 से अधिक है?

μ = 100σ = 12x = 118
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)10.2520.1530.340.3μ = 2.65

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.15, 0.3, 0.3
Var(X) =
6.प्रायिकताकठिन
€p(x)−20.7560.2980.05

एक खेल खेलने का मूल्य €2 है। आप प्रायिकता 0.2 से €8 जीतते हैं और प्रायिकता 0.05 से €100; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €2€8: p = 0.2€100: p = 0.05
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.0322

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.0322 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.0322
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
35455565758595अंकनीचे 15%

परीक्षा अंक औसत 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 15% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 65 अंकσ = 10 अंक15%
x = अंक
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 6, s = 19LU = ?x̄ = 66.5E99%

6 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 66.5 और मानक विचलन s = 19 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 6x̄ = 66.5s = 1999%t(5) = 4.032
ऊपरी सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 18, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.599%

समष्टि मानक विचलन 18 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो?

σ = 18E = 0.599%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −2.0302.03

36 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 104.8 और प्रतिदर्श मानक विचलन 10 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 104.8s = 10n = 36
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1 हो? मानक विचलन 12 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 12E = 190%
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy125225325420521618xy2462025

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy244106108141021xy5101020x = 9

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 9 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 9
ŷ =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
खाँसीखाँसी नहींकुलधूम्रपान करने वाले5268120धूम्रपान न करने वाले382260कुल9090180

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1802 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 8 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.01 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.01
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · समूह-पीढ़ी प्रभाव (cohort effects)

यह उत्तर क्यों है

अलग-अलग आयु समूह अलग-अलग ऐतिहासिक परिस्थितियों में पले, इसलिए अंतर स्वयं बढ़ती उम्र के बजाय पीढ़ी (cohort) को दर्शा सकते हैं।

उत्तर

C · समूह-पीढ़ी प्रभाव (cohort effects)
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · जब तक सैद्धांतिक संतृप्ति (theoretical saturation) न हो जाए और नए आँकड़े कोई नई श्रेणी न जोड़ें

यह उत्तर क्यों है

ग्राउंडेड थ्योरी आगमनात्मक रूप से सिद्धांत विकसित करती है, आँकड़ों का संग्रह और कोडिंग साथ-साथ करती है, और जब नए आँकड़े श्रेणियों को आगे विकसित नहीं करते तो प्रतिचयन रोक देती है।

उत्तर

D · जब तक सैद्धांतिक संतृप्ति (theoretical saturation) न हो जाए और नए आँकड़े कोई नई श्रेणी न जोड़ें
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.43

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 225/6 = 37.5

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−21.5)² + 12.5² + (−12.5)² + 7.5² + 21.5² + (−7.5)² = 1350

मानक विचलन

s = √(1350/5) = 16.43

उत्तर

s = 16.43
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.06681

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 1.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681

उत्तर

P = 0.06681
5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.327

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.25 + 2·0.15 + 3·0.3 + 4·0.3 = 2.65

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.15 + 9·0.3 + 16·0.3 = 8.35

प्रसरण

Var(X) = 8.35 − 2.65² = 1.327

उत्तर

Var(X) = 1.327
6.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 4.6 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 6 (p = 0.2), 98 (p = 0.05), −2 (p = 0.75)

प्रत्याशित मान

E(G) = 6·0.2 + 98·0.05 − 2·0.75 = 4.6 €

उत्तर

E(G) = 4.6 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 1.85

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.0322 = 0.9678

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9678 खोजें और z पढ़ें।

z = 1.85

उत्तर

z = 1.85
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 54.6 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.15

सारणी से z

z ≈ −1.04

मूल इकाइयों में वापस

x = 65 − 1.04·10 = 54.6 अंक

उत्तर

x = 54.6 अंक
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 97.78

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 5, t = 4.032

त्रुटि सीमा

E = 4.032·19/√6 = 31.28

अंतराल

66.5 ± 31.28 → [35.22, 97.78]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 97.78
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 8600

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·18/0.5)² = 8600

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 8600

उत्तर

n = 8600
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.88

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667

परीक्षण सांख्यिकी

t = (104.8 − 100)/1.667 = 2.88

उत्तर

t = 2.88
t0.025; df = 35 = 2.03

|t| > 2.03, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 390

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (1.645·12/1)² = 389.7

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 390

उत्तर

n = 390
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = −0.9034

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 134/6 = 22.33

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
Syy = Σ(y − ȳ)² = 47.33

सहसंबंध गुणांक

r = −26/√(17.5·47.33) = −0.9034

उत्तर

r = −0.9034
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 17.5

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 59/5 = 11.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

समाश्रयण रेखा

b = 76/40 = 1.9
a = 11.8 − 1.9·6 = 0.4
ŷ = 0.4 + 1.9·x

पूर्वानुमान

ŷ = 0.4 + 1.9·9 = 17.5

उत्तर

ŷ = 17.5
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 6.4

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

धूम्रपान करने वाले: 120·90/180 = 60, 120·90/180 = 60
धूम्रपान न करने वाले: 60·90/180 = 30, 60·90/180 = 30

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (52 − 60)²/60 + (68 − 60)²/60 + (38 − 30)²/30 + (22 − 30)²/30
χ² = 6.4

उत्तर

χ² = 6.4

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 16.81

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 8 − 1 − 1 = 6

तालिका

χ²crit(df = 6, α = 0.01) = 16.812

उत्तर

χ²crit = 16.812

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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