मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

केवल अमेरिकी स्नातक छात्रों के साथ किए गए अध्ययन में किसकी कमी हो सकती है?

Aजनसंख्या वैधता (population validity)
Bआंतरिक संगति
Cअंतर-मूल्यांकनकर्ता विश्वसनीयता
Dविषयवस्तु वैधता

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक अध्ययन दिखाता है कि एक प्रश्नावली उसी संरचना के एक स्थापित परीक्षण से प्रबल रूप से सहसंबद्ध है। यह किसका समर्थन करता है?

Aआभासी (फ़ेस) वैधता
Bपारिस्थितिक वैधता
Cसमवर्ती वैधता
Dपरीक्षण-पुनर्परीक्षण विश्वसनीयता

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 54, 39, 15, 10, 30।

n = 5

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 170 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 180 से अधिक है?

μ = 170σ = 8x = 180

P =

5.प्रायिकतामध्यम

एक थैले में 6 लाल और 9 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

6 / 9

P =

6.प्रायिकताकठिन

11 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.4 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 11p = 0.4

P =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

IQ अंक माध्य 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 82.75 और 103.75 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 100σ = 15x₁ = 82.75x₂ = 103.75

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 99% आते हैं (99वाँ शततमक)।

μ = 178σ = 7P = 99%

x = cm

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 30 फ़ोन, माध्य 64 h, ज्ञात मानक विचलन 5 h। मॉडल 2: 50 फ़ोन, माध्य 65 h, ज्ञात मानक विचलन 20 h। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 30x̄₁ = 64 hσ₁ = 5 hn₂ = 50x̄₂ = 65 hσ₂ = 20 h99%

ऊपरी सीमा = h

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

दोषपूर्ण उत्पादों के अनुपात के बारे में पहले से कुछ ज्ञात नहीं है। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.025 हो?

p = 0.5E = 0.02595%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

16 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 194.6 और प्रतिदर्श मानक विचलन 12 है। H₀: μ = 200 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 200x̄ = 194.6s = 12n = 16

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ > 50 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.01 पर 100 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 5 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 51.7 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 50μ = 51.7σ = 5n = 100α = 0.01

1 − β = %

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 20Σy = 307Σx² = 90Σy² = 18959Σxy = 1254

r =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 35 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 35

x =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 2202 × 2

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

2 पंक्तियों और 6 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²_crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05

χ²_crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · जनसंख्या वैधता (population validity)

यह उत्तर क्यों है

जनसंख्या वैधता बाह्य वैधता का एक प्रकार है। अधिकतर युवा, पश्चिमी और शिक्षित प्रतिदर्श अन्य लोगों का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते।

उत्तर

A · जनसंख्या वैधता (population validity)

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · समवर्ती वैधता

यह उत्तर क्यों है

समवर्ती वैधता तब दिखती है जब नया माप लगभग उसी समय लिए गए स्थापित माप से मेल खाता है।

उत्तर

C · समवर्ती वैधता

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 17.9

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 148/5 = 29.6

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 24.4² + 9.4² + (−14.6)² + (−19.6)² + 0.4² = 1281

मानक विचलन

s = √(1281/4) = 17.9

उत्तर

s = 17.9

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.1056

मानकीकृत करें

z = 1.25

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

उत्तर

P = 0.1056

5.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.1429

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0.1429

उत्तर

P = 0.1429

6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.03023

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.6¹¹ = 0.003628

P(X = 1) = 11·0.4·0.6¹⁰ = 0.02661

जोड़ें

P = 0.003628 + 0.02661 = 0.03023

उत्तर

P = 0.03023

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.4736

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (82.75 − 100)/15 = −1.15

z₂ = (103.75 − 100)/15 = 0.25

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.25) − Φ(−1.15) = 0.5987 − 0.1251 = 0.4736

उत्तर

P = 0.4736

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 194.3 cm

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

वापस x पर

x = 178 + 2.326·7 = 194.28 cm

उत्तर

x = 194.28 cm

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 6.656 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 64 − 65 = −1

मानक त्रुटि

SE = √(5²/30 + 20²/50) = 2.972

त्रुटि सीमा

E = 2.576·2.972 = 7.656

अंतराल

−1 ± 7.656 → [−8.656, 6.656]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 6.656 h

अंतराल में 0 है, इसलिए आँकड़े कोई सार्थक अंतर नहीं दिखाते।

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 1537

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.96²·0.5·0.5/0.025² = 1537

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 1537

उत्तर

n = 1537

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −1.8

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

परीक्षण सांख्यिकी

t = (194.6 − 200)/3 = −1.8

उत्तर

t = −1.8

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 85.86 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 5/√100 = 0.5

x̄_c = 50 + 2.326·0.5 = 51.16

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (51.16 − 51.7)/0.5 = −1.074

शक्ति

शक्ति = P(Z > −1.074) = 85.86%

1 − β = 85.86%

उत्तर

1 − β = 85.86%

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.7868

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 1254 − 20·307/5 = 26

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 18959 − 307²/5 = 109.2

सहसंबंध गुणांक

r = 26/√(10·109.2) = 0.7868

उत्तर

r = 0.7868

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 7

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 168/5 = 33.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

समाश्रयण रेखा

b = 56/40 = 1.4

a = 33.6 − 1.4·6 = 25.2

ŷ = 25.2 + 1.4·x

x के लिए हल करें

x = (35 − 25.2)/1.4 = 7

उत्तर

x = 7

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 10.67

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

नई दवा: 120·99/220 = 54, 120·121/220 = 66

प्लेसिबो: 100·99/220 = 45, 100·121/220 = 55

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (66 − 54)²/54 + (54 − 66)²/66 + (33 − 45)²/45 + (67 − 55)²/55

χ² = 10.67

उत्तर

χ² = 10.67

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²_crit = 11.07

स्वातंत्र्य कोटि

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

तालिका

χ²_crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070

उत्तर

χ²_crit = 11.070

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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