मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

एक नई अवसाद प्रश्नावली भविष्यवाणी करती है कि अगले वर्ष कौन-से छात्र उपचार लेंगे। यह किस प्रकार की वैधता का समर्थन करता है?

Aविषयवस्तु वैधता (content validity)
Bआभासी वैधता (face validity)
Cभविष्यसूचक वैधता (predictive validity)
Dसमवर्ती वैधता

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

दो पर्यवेक्षक एक खेल के मैदान में आक्रामक कृत्यों को दर्ज करते हैं और उनकी गणनाओं का सहसंबंध r = 0.45 है। शोधकर्ता को क्या करना चाहिए?

Aआँकड़े स्वीकार करना क्योंकि कोई भी धनात्मक सहसंबंध पर्याप्त है
Bव्यवहार श्रेणियों को परिष्कृत करना और पर्यवेक्षकों को प्रशिक्षित करना, फिर सहमति फिर से जाँचना
Cदोनों में से केवल बड़ी गणना का उपयोग करना
Dएक-पुच्छीय परिकल्पना पर जाना

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 55, 20, 13, 23, 24।

n = 5

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 44 से कम है?

μ = 60σ = 8x = 44

P =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.1, 0.35, 0.25, 0.3

Var(X) =

6.प्रायिकताकठिन

एक परीक्षा में 6 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.1 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 2 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 6p = 0.1k = 2

P =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 53 और 73.5 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 65σ = 10x₁ = 53x₂ = 73.5

P =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

बैटरी जीवनकाल औसत 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 75% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 500 hσ = 40 h75%

x = h

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

13 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 74.5 और मानक विचलन s = 18.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 13x̄ = 74.5s = 18.595%t(12) = 2.179

E =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 7 प्लॉट, माध्य उपज 47.5 kg, मानक विचलन 1.5 kg। प्लॉट समूह 2: 7 प्लॉट, माध्य 50.5 kg, मानक विचलन 3.5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 7x̄₁ = 47.5s₁ = 1.5n₂ = 7x̄₂ = 50.5s₂ = 3.590%t(12) = 1.782

ऊपरी सीमा = kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

11 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 2.1 और अंतरों का मानक विचलन 5.8 है। H₀: μ_d = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 11d̄ = 2.1s_d = 5.8

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

100 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 500.5 है। समष्टि मानक विचलन 10 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 500.5σ = 10n = 10095%

U =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5

r² =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 82 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 82

x =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण के लिए कोष्ठिका “ग्रामीण, मध्यम” की अपेक्षित गणना E ज्ञात कीजिए।

पंक्ति योग = 68स्तंभ योग = 55N = 159

E =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 9 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 9

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · भविष्यसूचक वैधता (predictive validity)

यह उत्तर क्यों है

भविष्यसूचक वैधता तब दिखती है जब अंक किसी बाद के मानदंड की भविष्यवाणी करते हैं। समवर्ती वैधता उसी समय मापे गए मानदंड का उपयोग करती है।

उत्तर

C · भविष्यसूचक वैधता (predictive validity)

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · व्यवहार श्रेणियों को परिष्कृत करना और पर्यवेक्षकों को प्रशिक्षित करना, फिर सहमति फिर से जाँचना

यह उत्तर क्यों है

कम अंतर-पर्यवेक्षक विश्वसनीयता का अर्थ है कि श्रेणियाँ असंगत रूप से लागू हो रही हैं। स्पष्ट संक्रियात्मक परिभाषाएँ और अभ्यास सत्र मुख्य आँकड़ा संग्रह से पहले सहमति बढ़ाने चाहिए।

उत्तर

B · व्यवहार श्रेणियों को परिष्कृत करना और पर्यवेक्षकों को प्रशिक्षित करना, फिर सहमति फिर से जाँचना

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.23

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 135/5 = 27

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 28² + (−7)² + (−14)² + (−4)² + (−3)² = 1054

मानक विचलन

s = √(1054/4) = 16.23

उत्तर

s = 16.23

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.02275

मानकीकृत करें

z = −2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275

5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 98.75

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 10·0.1 + 20·0.35 + 30·0.25 + 40·0.3 = 27.5

वर्गों का माध्य

E(X²) = 100·0.1 + 400·0.35 + 900·0.25 + 1600·0.3 = 855

प्रसरण

Var(X) = 855 − 27.5² = 98.75

उत्तर

Var(X) = 98.75

6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.09842

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 2) = 15·0.1²·0.9⁴ = 15·0.01·0.6561 = 0.09842

उत्तर

P = 0.09842

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.6873

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (53 − 65)/10 = −1.2

z₂ = (73.5 − 65)/10 = 0.85

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.85) − Φ(−1.2) = 0.8023 − 0.1151 = 0.6873

उत्तर

P = 0.6873

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 473 h

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.25

सारणी से z

z ≈ −0.67

मूल इकाइयों में वापस

x = 500 − 0.67·40 = 473 h

उत्तर

x = 473 h

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 11.18

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 12, t = 2.179

त्रुटि सीमा

E = 2.179·18.5/√13 = 11.18

उत्तर

E = 11.18

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = −0.4353 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

s_p² = (6·1.5² + 6·3.5²)/12 = 7.25

s_p = 2.693

त्रुटि सीमा

E = 1.782·2.693·√(1/7 + 1/7) = 2.565

अंतराल

−3 ± 2.565 → [−5.565, −0.4353]

उत्तर

ऊपरी सीमा = −0.4353 kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.201

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 5.8/√11 = 1.749

परीक्षण सांख्यिकी

t = 2.1/1.749 = 1.201

उत्तर

t = 1.201

df = 10 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.228 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 502.5

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 1.96·10/√100 = 1.96

अंतराल सीमा

U = 500.5 + 1.96 = 502.5

उत्तर

U = 502.5

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9742

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 88/5 = 17.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 217.2

निर्धारण गुणांक

r² = 92²/(40·217.2) = 0.9742

उत्तर

r² = 0.9742

y के विचरण का लगभग 97.42% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 15.95

माध्य

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 639/6 = 106.5

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 423

समाश्रयण रेखा

b = 423/70 = 6.043

a = 106.5 − 6.043·20 = −14.36

ŷ = −14.36 + 6.043·x

x के लिए हल करें

x = (82 − (−14.36))/6.043 = 15.95

उत्तर

x = 15.95

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: E = 23.52

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणना

E = 68·55/159 = 23.52

उत्तर

E = 23.52

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 7

स्वातंत्र्य कोटि

df = 9 − 1 − 1 = 7

उत्तर

df = 7

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