मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

विषयवस्तु विश्लेषण में अंतर-मूल्यांकनकर्ता विश्वसनीयता कैसे जाँची जाती है?

  1. Aसामग्री का बड़ा प्रतिदर्श लेकर
  2. Bदो शोधकर्ताओं से एक ही सामग्री को कोड करवाकर और परिणामों की तुलना करके
  3. Cसामग्री को एक ही दिन में दो बार कोड करके
  4. Dबाद में प्रतिभागियों से पूछकर कि उनकी सामग्री की शोधकर्ता की कोडिंग सही है या नहीं
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक अध्ययन केवल पेशेवर बास्केटबॉल खिलाड़ियों में ऊँचाई और IQ के बीच r = 0.05 सहसंबंध पाता है, हालाँकि सामान्य जनसंख्या में यह अधिक है। कमज़ोर सहसंबंध की सबसे अच्छी व्याख्या क्या है?

  1. Aमाँग विशेषताएँ
  2. Bपरास का प्रतिबंध (restriction of range)
  3. Cमाध्य की ओर प्रतिगमन
  4. DIQ परीक्षणों में छत प्रभाव
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
2025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 39, 50, 35, 54, 16, 54, 58।

n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 104.8 से अधिक है?

μ = 100σ = 12x = 104.8
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)10.2520.0530.3540.35μ = 2.8

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.05, 0.35, 0.35
σ =
6.प्रायिकताकठिन
xp(x)00.3510.0520.3530.0540.2μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 5X − 3। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.05, 0.35, 0.05, 0.2Y = 5X − 3
σY =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
454582P = ?

बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 454 और 582 h के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 500σ = 40x1 = 454x2 = 582
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
157164171178185192199cmऊपर 60%

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई औसत 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 60% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 178 cmσ = 7 cm60%
x = cm
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 6, sd​ = 60L = ?Ud̄ = 5.3E99%

6 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 5.3 और मानक विचलन 6 है। माध्य अंतर के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 6d̄ = 5.3sd = 699%t(5) = 4.032
निचली सीमा = mmHg
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 25σ = ?Us = 10.195%

25 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 10.1 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 24 के साथ χ² बंटन का 2.5% 12.401 से नीचे और 2.5% 39.364 से ऊपर है।

n = 25s = 10.1 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
2.18p = ?

एक समष्टि का माध्य 50 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 24 ज्ञात है। 64 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 56.54 है। H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ > 50 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 50σ = 24n = 64x̄ = 56.54H₁: μ > μ₀
p =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0.01βσ = 19, शक्ति 90%, n = ?

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 90% शक्ति के साथ माध्य में 3 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 19 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 90%δ = 3σ = 19zα = 2.326zβ = 1.282
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy14571653186620772288xy15206080

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy130231337441549649xy246304050ŷ = 41

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 41 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 41
x =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
खाँसीखाँसी नहींकुलधूम्रपान करने वाले283260धूम्रपान न करने वाले285280कुल5684140

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1402 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 6 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 6
df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · दो शोधकर्ताओं से एक ही सामग्री को कोड करवाकर और परिणामों की तुलना करके

यह उत्तर क्यों है

यदि स्वतंत्र कोडर एक ही आँकड़ों के लिए समान कोड देते हैं (उच्च सहमति या सहसंबंध), तो कोडिंग योजना विश्वसनीय है।

उत्तर

B · दो शोधकर्ताओं से एक ही सामग्री को कोड करवाकर और परिणामों की तुलना करके
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · परास का प्रतिबंध (restriction of range)

यह उत्तर क्यों है

जब प्रतिदर्श किसी चर के केवल संकरे परास को कवर करता है, तो उससे जुड़े सहसंबंध घट जाते हैं। बास्केटबॉल खिलाड़ी सभी लंबे हैं, इसलिए ऊँचाई में बहुत कम भिन्नता है।

उत्तर

B · परास का प्रतिबंध (restriction of range)
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.84

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 306/7 = 43.71

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−4.714)² + 6.286² + (−8.714)² + 10.29² + (−27.71)² + 10.29² + 14.29² = 1321

मानक विचलन

s = √(1321/6) = 14.84

उत्तर

s = 14.84
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.3446

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 0.4

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446

उत्तर

P = 0.3446
5.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.166

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.25 + 2·0.05 + 3·0.35 + 4·0.35 = 2.8

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.05 + 9·0.35 + 16·0.35 = 9.2

प्रसरण

Var(X) = 9.2 − 2.8² = 1.36
σ = √1.36 = 1.166

उत्तर

σ = 1.166
6.प्रायिकता

उत्तर: σY = 7.433

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 1.7, Var(X) = 2.21, σX = 1.487

रैखिक परिवर्तन

σY = |5|·1.487 = 7.433

उत्तर

σY = 7.433

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 5·1.7 − 3 = 5.5।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8547

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (454 − 500)/40 = −1.15
z₂ = (582 − 500)/40 = 2.05

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(2.05) − Φ(−1.15) = 0.9798 − 0.1251 = 0.8547

उत्तर

P = 0.8547
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 176.3 cm

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.4

सारणी से z

z ≈ −0.25

मूल इकाइयों में वापस

x = 178 − 0.25·7 = 176.3 cm

उत्तर

x = 176.3 cm
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = −4.576 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 5, t = 4.032

त्रुटि सीमा

E = 4.032·6/√6 = 9.876

अंतराल

5.3 ± 9.876 → [−4.576, 15.18]

उत्तर

निचली सीमा = −4.576 mmHg
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 7.886 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 24·10.1² = 2448

σ² की सीमाएँ

2448/39.364 = 62.19
2448/12.401 = 197.4

σ की सीमा

σ = √62.19 = 7.886 µm

उत्तर

σ = 7.886 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [7.886, 14.05] µm।

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.01463

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 24/√64 = 3
z = (56.54 − 50)/3 = 2.18

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(2.18) = 0.9854
1 − Φ(2.18) = 0.0146

p-मान

p = 0.01463

उत्तर

p = 0.01463

p ≤ 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 523

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 1.282)·19/3)² = 522.2

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 523

उत्तर

n = 523
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9435

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 341/5 = 68.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172
Syy = Σ(y − ȳ)² = 830.8

सहसंबंध गुणांक

r = 172/√(40·830.8) = 0.9435

उत्तर

r = 0.9435
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 3.843

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 237/6 = 39.5

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76.5

समाश्रयण रेखा

b = 76.5/17.5 = 4.371
a = 39.5 − 4.371·3.5 = 24.2
ŷ = 24.2 + 4.371·x

x के लिए हल करें

x = (41 − 24.2)/4.371 = 3.843

उत्तर

x = 3.843
15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 1.944

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

धूम्रपान करने वाले: 60·56/140 = 24, 60·84/140 = 36
धूम्रपान न करने वाले: 80·56/140 = 32, 80·84/140 = 48

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (28 − 24)²/24 + (32 − 36)²/36 + (28 − 32)²/32 + (52 − 48)²/48
χ² = 1.944

उत्तर

χ² = 1.944

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 5

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = 6 − 1 = 5

उत्तर

df = 5

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