वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
काई-वर्ग परीक्षण
- परीक्षण सांख्यिकी
- χ² = Σ(O − E)²/E
- समंजन सुष्ठुता
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- स्वतंत्रता
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- क्रांतिक मान (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- निर्णय
- यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें
2अभ्यास प्रश्न
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम
विश्वविद्यालय की जनसंख्या के समान अनुपात में प्रथम, द्वितीय और तृतीय वर्ष के छात्रों वाला प्रतिदर्श पाने के लिए शोधकर्ता को किसका उपयोग करना चाहिए?
- Aअवसर प्रतिचयन
- Bस्तरीकृत प्रतिचयन
- Cस्वयंसेवी प्रतिचयन
- Dस्नोबॉल प्रतिचयन
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन
एक अध्ययन दिखाता है कि एक प्रश्नावली उसी संरचना के एक स्थापित परीक्षण से प्रबल रूप से सहसंबद्ध है। यह किसका समर्थन करता है?
- Aआभासी (फ़ेस) वैधता
- Bपरीक्षण-पुनर्परीक्षण विश्वसनीयता
- Cसमवर्ती वैधता
- Dपारिस्थितिक वैधता
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 12, 27, 27, 21, 45, 13, 28।
n = 7
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 170 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 140 से अधिक है?
μ = 170σ = 20x = 140
P =
5.प्रायिकतामध्यम
दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.1, 0.1, 0.25, 0.25
Var(X) =
6.प्रायिकताकठिन
एक खेल खेलने का मूल्य €2 है। आप प्रायिकता 0.25 से €8 जीतते हैं और प्रायिकता 0.05 से €100; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।
दाँव = €2€8: p = 0.25€100: p = 0.05
E(G) = €
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.0885 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
A = 0.0885
z =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 97.5% आते हैं (97.5वाँ शततमक)।
μ = 178σ = 7P = 97.5%
x = cm
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
ज्ञात σ और 25 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 3.6 है। 225 प्रेक्षणों पर आधारित 99% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?
90%n₁ = 25E₁ = 3.699%n₂ = 225
E₂ =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
दोषपूर्ण उत्पादों के अनुपात के बारे में पहले से कुछ ज्ञात नहीं है। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.025 हो?
p = 0.5E = 0.02595%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
100 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 96.1 और प्रतिदर्श मानक विचलन 15 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।
μ₀ = 100x̄ = 96.1s = 15n = 100
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
64 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 193.8 है। समष्टि मानक विचलन 20 है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।
x̄ = 193.8σ = 20n = 6490%
U =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।
n = 6
r² =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (9, 20) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।
n = 5(9, 20)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।
N = 1602 × 2
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण जाँचता है कि 4 श्रेणियों में गणनाएँ ऐसे प्वासों बंटन का पालन करती हैं या नहीं जिसका माध्य उन्हीं आँकड़ों से आकलित किया गया है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।
α = 0.05
χ²crit =
3विलयन
1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: B · स्तरीकृत प्रतिचयन
यह उत्तर क्यों है
स्तरीकृत प्रतिचयन उपसमूहों (स्तरों) की पहचान करता है और हर एक से जनसंख्या में उसके आकार के अनुपात में यादृच्छिक प्रतिदर्श लेता है, जिससे प्रतिदर्श अधिक प्रतिनिधि बनता है।
उत्तर
B · स्तरीकृत प्रतिचयन
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ
उत्तर: C · समवर्ती वैधता
यह उत्तर क्यों है
समवर्ती वैधता तब दिखती है जब नया माप लगभग उसी समय लिए गए स्थापित माप से मेल खाता है।
उत्तर
C · समवर्ती वैधता
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 11.15
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 173/7 = 24.71
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−12.71)² + 2.286² + 2.286² + (−3.714)² + 20.29² + (−11.71)² + 3.286² = 745.4
मानक विचलन
s = √(745.4/6) = 11.15
उत्तर
s = 11.15
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.9332
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = −1.5
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
उत्तर
P = 0.9332
5.प्रायिकता
उत्तर: Var(X) = 2.548
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य
μ = 1·0.3 + 2·0.1 + 3·0.1 + 4·0.25 + 5·0.25 = 3.05
वर्गों का माध्य
E(X²) = 1·0.3 + 4·0.1 + 9·0.1 + 16·0.25 + 25·0.25 = 11.85
प्रसरण
Var(X) = 11.85 − 3.05² = 2.548
उत्तर
Var(X) = 2.548
6.प्रायिकता
उत्तर: E(G) = 5 €
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
शुद्ध परिणाम
G: 6 (p = 0.25), 98 (p = 0.05), −2 (p = 0.7)
प्रत्याशित मान
E(G) = 6·0.25 + 98·0.05 − 2·0.7 = 5 €
उत्तर
E(G) = 5 €
धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।
7.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: z = 1.35
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
z के बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 1 − 0.0885 = 0.9115
z-सारणी को उलटा पढ़ें
सारणी के भीतर 0.9115 खोजें और z पढ़ें।
z = 1.35
उत्तर
z = 1.35
8.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 191.7 cm
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
वापस x पर
x = 178 + 1.96·7 = 191.72 cm
उत्तर
x = 191.72 cm
9.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E₂ = 1.879
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
त्रुटि सीमाओं का अनुपात
E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(25/225) = 0.522
नई त्रुटि सीमा
E₂ = 3.6·0.522 = 1.879
उत्तर
E₂ = 1.879
10.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 1537
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n ज्ञात करें
n = 1.96²·0.5·0.5/0.025² = 1537
ऊपर पूर्णांकित करें
n = 1537
उत्तर
n = 1537
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = −2.6
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
मानक त्रुटि
SE = 15/√100 = 15/10 = 1.5
परीक्षण सांख्यिकी
t = (96.1 − 100)/1.5 = −2.6
उत्तर
t = −2.6
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: U = 197.9
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
त्रुटि सीमा
E = 1.645·20/√64 = 4.112
अंतराल सीमा
U = 193.8 + 4.112 = 197.9
उत्तर
U = 197.9
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r² = 0.875
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 365/6 = 60.83
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211
Syy = Σ(y − ȳ)² = 726.8
निर्धारण गुणांक
r² = 211²/(70·726.8) = 0.875
उत्तर
r² = 0.875
y के विचरण का लगभग 87.5% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: e = 3.4
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 59/5 = 11.8
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64
समाश्रयण रेखा
b = 64/40 = 1.6
a = 11.8 − 1.6·6 = 2.2
ŷ = 2.2 + 1.6·x
पूर्वानुमानित मान
ŷ = 2.2 + 1.6·9 = 16.6
अवशिष्ट
e = 20 − 16.6 = 3.4
उत्तर
e = 3.4
बिंदु रेखा के ऊपर है।
15.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ² = 28.13
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
अपेक्षित गणनाएँ
धूम्रपान करने वाले: 80·104/160 = 52, 80·56/160 = 28
धूम्रपान न करने वाले: 80·104/160 = 52, 80·56/160 = 28
काई-वर्ग प्रतिदर्शज
χ² = (36 − 52)²/52 + (44 − 28)²/28 + (68 − 52)²/52 + (12 − 28)²/28
χ² = 28.13
उत्तर
χ² = 28.13
df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।
16.काई-वर्ग परीक्षण
उत्तर: χ²crit = 5.991
काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।
स्वातंत्र्य कोटि
df = 4 − 1 − 1 = 2
तालिका
χ²crit(df = 2, α = 0.05) = 5.991
उत्तर
χ²crit = 5.991
यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology