संरचना विश्लेषण: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
एकसमान भार
परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण
M = F·d

विधि

  1. मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
  2. हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
  3. एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
  4. शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣFy = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
खंड विधि
ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल
धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

  1. पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣFx = 0 तथा ΣFy = 0 का उपयोग करें।
  3. खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
  4. तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम
P1​ = 30 kNP2​ = 25 kNABRA​ = ?RB​2.5 m0.5 m3 m

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया RA ज्ञात कीजिए।

L = 6 mP1 = 30 kN पर 2.5 mP2 = 25 kN पर 3 m
RA = kN
2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन
w = 2 kN/mP = 75 kNABCRA​ = ?1.5 m1 m2 m1.5 m

बीम में A पर पिन और A से 4.5 m पर B पर रोलर है, और यह B से आगे मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। यह A से 1.5 m पर बिंदु भार P और 2.5 m से 6 m पर मुक्त सिरे तक समान वितरित भार w वहन करता है। ऊपर की ओर को धनात्मक लेते हुए ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया RA ज्ञात कीजिए।

AB = 4.5 mAC = 6 mP = 75 kN पर 1.5 mw = 2 kN/m, 2.5 से 6 m तक
RA = kN
3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
w = 4 kN/mP = 60 kNABखंड3.5 m0.5 m1 m

कैंटिलीवर A पर स्थिर है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और A से 4 m पर बिंदु भार P वहन करता है। स्थिर आलंब A से x = 3.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 5 mP = 60 kN पर 4 mw = 4 kN/m, 0 से 5 m तकx = 3.5 m
Mx = kN·m
4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
w = 4 kN/mP = 40 kNAB2.5 m1.5 m

सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w और एक बिंदु भार P वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।

L = 4 mP = 40 kN पर 2.5 mw = 4 kN/m, 0 से 4 m तक
Mmax = kN·m
5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम
ABCDEFGH10 kN35 kN4 × 3 m4 m

इस ट्रस का ठीक एक सदस्य इन भारों के अंतर्गत कोई बल वहन नहीं करता। शून्य-बल सदस्य कौन-सा है? उसे आरेख में क्लिक करें।

B: 10 kN ↓H: 35 kN ↓
  1. 1सदस्य AB
  2. 2सदस्य BC
  3. 3सदस्य CD
  4. 4सदस्य DE
  5. 5सदस्य FG
  6. 6सदस्य GH
  7. 7सदस्य AF
  8. 8सदस्य HE
  9. 9सदस्य BF
  10. 10सदस्य CG
  11. 11सदस्य DH
  12. 12सदस्य BG
  13. 13सदस्य DG
6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन
ABCDEFGH20 kN40 kN35 kN4 × 4 m3 m

इस ट्रस का ठीक एक सदस्य इन भारों के अंतर्गत कोई बल वहन नहीं करता। शून्य-बल सदस्य कौन-सा है? उसे आरेख में क्लिक करें।

B: 20 kN ↓D: 40 kN ↓H: 35 kN ←
  1. 1सदस्य AB
  2. 2सदस्य BC
  3. 3सदस्य CD
  4. 4सदस्य DE
  5. 5सदस्य FG
  6. 6सदस्य GH
  7. 7सदस्य AF
  8. 8सदस्य HE
  9. 9सदस्य BF
  10. 10सदस्य CG
  11. 11सदस्य DH
  12. 12सदस्य BG
  13. 13सदस्य DG
7.बीम विक्षेपमध्यम
P = 23 kNABδ1.5 m0.5 m

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 1.5 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे B पर विक्षेप δB ज्ञात कीजिए।

P = 23 kNa = 1.5 mL = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.बीम विक्षेपकठिन
w = 1 kN/mABδ5 m

आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 125 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/300 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई hreq ज्ञात कीजिए।

w = 1 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 125 mm
hreq = mm
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 5 md = 60 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 60 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
PL = 2.5 md = 20 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 20 mm
σcr = MPa

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: RA = 30 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

P1​ = 30 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​2.5 m0.5 m3 m

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣMA = 0: RB·6 = 30·2.5 + 25·3
RB = 150/6 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 25 = 30 kN

उत्तर

RA = 30 kN
2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: RA = 50.39 kN

स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए।

वितरित भार का परिणामी

W = 2·3.5 = 7 kN, x̄ = (2.5 + 6)/2 = 4.25 m

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣMA = 0: RB·4.5 = 75·1.5 + 7·4.25
RB = 142.3/4.5 = 31.61 kN
RA = 82 − 31.61 = 50.39 kN

उत्तर

RA = 50.39 kN
3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = −34.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

मुक्त-सिरे वाला भाग रखें

P: −60·0.5 = −30 kN·m
w: −4·1.5²/2 = −4.5 kN·m
Mx = −30 − 4.5 = −34.5 kN·m

उत्तर

Mx = −34.5 kN·m

ऋणात्मक का अर्थ है हॉगिंग: ऊपरी फलक पर तनाव।

4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mmax = 45 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, x̄ = 2 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2.5 + 4·4·2
RB = 132/4 = 33 kN
ΣFy = 0: RA = 56 − 33 = 23 kN

V = 0 कहाँ है?

V(2.5⁻) = RA − w·2.5 = 13 kN
V(2.5⁺) = 13 − 40 = −27 kN
भार पर अपरूपण का चिह्न बदलता है, इसलिए अधिकतम भार के नीचे है।

अधिकतम आघूर्ण

Mmax = RA·2.5 − w·2.5²/2 = 23·2.5 − 4·2.5²/2 = 45 kN·m

उत्तर

Mmax = 45 kN·m

यह A से x = 2.5 m पर होता है।

5.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: सदस्य CG

शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।

संधि C

BC और CD एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल CG बचता है।

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

संधि विधि से जाँचें

सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।

AB: 12.19 kN (T), BC: 16.88 kN (T), CD: 16.88 kN (T), DE: 21.56 kN (T), FG: 12.19 kN (C), GH: 21.56 kN (C), AF: 20.31 kN (C), HE: 35.94 kN (C), BF: 16.25 kN (T), CG: 0, DH: 6.25 kN (C), BG: 7.813 kN (C), DG: 7.813 kN (T)

उत्तर

शून्य-बल सदस्य: CG
6.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: सदस्य CG

शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।

संधि C

BC और CD एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल CG बचता है।

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

संधि विधि से जाँचें

सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।

AB: 7.083 kN (T), BC: 22.5 kN (T), CD: 22.5 kN (T), DE: 37.92 kN (T), FG: 42.08 kN (C), GH: 72.92 kN (C), AF: 52.6 kN (C), HE: 47.4 kN (C), BF: 31.56 kN (T), CG: 0, DH: 28.44 kN (T), BG: 19.27 kN (C), DG: 19.27 kN (T)

उत्तर

शून्य-बल सदस्य: CG
7.बीम विक्षेप

उत्तर: δB = 24.11 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 23000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

मुक्त सिरे पर विक्षेप

भार पर विक्षेप जमा भार पर प्रवणता गुणा शेष लंबाई।

δP = Pa³/(3EI) = 16.07 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.01607 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 24.11 mm

उत्तर

δB = 24.11 mm
8.बीम विक्षेप

उत्तर: hreq = 162.1 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 1 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

विक्षेप सीमा

δallow = L/300 = 5000/300 = 16.67 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·5000⁴/(384·11000·16.67) = 4.439 × 10⁷ mm⁴

आवश्यक गहराई

bh³/12 = Ireq → h = (12·4.439 × 10⁷/125)1/3 = 162.1 mm

उत्तर

hreq = 162.1 mm

व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 102.5 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3500² = 102511 N = 102.5 kN

उत्तर

Pcr = 102.5 kN
10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σcr = 7.896 MPa

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/5 = 500

क्रांतिक प्रतिबल

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7.896 MPa

उत्तर

σcr = 7.896 MPa

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