संरचना विश्लेषण: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
खंड विधि: ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल: धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣF_x = 0 तथा ΣF_y = 0 का उपयोग करें।
खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_B ज्ञात कीजिए।

L = 4 mP₁ = 25 kN पर 1.5 mP₂ = 30 kN पर 2 m

R_B = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

कैंटिलीवर बीम A पर दीवार में स्थिर है। यह एक रैखिक रूप से बदलता भार वहन करता है जो दीवार पर शून्य है और मुक्त सिरे B पर 4 kN/m तक बढ़ता है, साथ ही दीवार से 4 m पर एक बिंदु भार P। दीवार पर प्रतिक्रिया आघूर्ण M_A का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 10 mw₀ = 4 kN/mP = 35 kN पर 4 m

M_A = kN·m

3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 2 m पर खंड में अपरूपण बल V_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 6 mw = 3 kN/m, 0 से 6 m तकx = 2 m

V_x = kN

4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 1.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 4 mP = 35 kN पर 1.5 mw = 12 kN/m, 0 से 4 m तकx = 1.5 m

M_x = kN·m

5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम

जोड़ विधि से अवयव AB में बल F_AB ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 6 mऊँचाई = 2 mB, A से 1 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 55 kN

F_AB = kN

6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन

जोड़ विधि से अवयव AC में बल F_AC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 6 mऊँचाई = 4 mB, A से 1 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 35 kNक्षैतिज भार = 30 kN →

F_AC = kN

7.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.बीम विक्षेपकठिन

एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। EI स्थिर है। स्थिर सिरे पर बंकन आघूर्ण M_A का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 8 mw = 5 kN/m

M_A = kN·m

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)d = 30 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2.5 के सुरक्षा गुणक के साथ 105 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 105 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

d = mm

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_B = 24.38 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1.5 + 30·2

R_B = 97.5/4 = 24.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 24.38 = 30.63 kN

उत्तर

R_B = 24.38 kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: M_A = 273.3 kN·m

कैंटिलीवर संतुलन: स्थिर आलंब ऊपर धकेल सकता है और घूर्णन का प्रतिरोध भी कर सकता है, इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R_A और एक प्रतिक्रिया आघूर्ण M_A देता है। ΣF_y = 0 से R_A मिलता है, और दीवार के परितः आघूर्णों से M_A = Σ(भार × दीवार से दूरी)। वितरित भार भार आरेख के केंद्रक पर अपने परिणामी के रूप में कार्य करता है।

त्रिभुजाकार भार का परिणामी

W = ½·4·10 = 20 kN

x̄ = 2L/3 = 6.667 m

दीवार के परितः आघूर्ण

M_A = W·x̄ + P·a = 20·6.667 + 35·4 = 273.3 kN·m

उत्तर

M_A = 273.3 kN·m

3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: V_x = 3 kN

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

x = 2 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

V = R_A − (कट के बाईं ओर सभी नीचे की ओर भार)

V_x = 9 − 3·2 = 3 kN

उत्तर

V_x = 3 kN

4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 55.31 kN·m

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, x̄ = 2 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1.5 + 12·4·2

R_B = 148.5/4 = 37.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 37.13 = 45.88 kN

x = 1.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 45.88·1.5 − 12·1.5·0.75 = 55.31 kN·m

उत्तर

M_x = 55.31 kN·m

5.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_AB = −51.24 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·1 → C_y = 9.167 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 9.167 = 45.83 kN

जोड़ A

मानें कि हर अवयव तनाव में है (जोड़ से दूर खींचता है)। A पर केवल AB का ऊर्ध्वाधर घटक है।

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −45.83/0.8944 = −51.24 kN

उत्तर

F_AB = −51.24 kN (संपीडन)

6.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_AC = 32.29 kN

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·1 + 30·4 → C_y = 25.83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 25.83 = 9.167 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

जोड़ C

रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।

sin γ = 4/6.403 = 0.6247, cos γ = 5/6.403 = 0.7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −25.83/0.6247 = −41.35 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−41.35)·0.7809 = 32.29 kN

उत्तर

F_AC = 32.29 kN (तनाव)

7.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 58.13 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

विक्षेप

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·8.4 × 10¹¹) = 58.13 mm

उत्तर

δ = 58.13 mm

8.बीम विक्षेप

उत्तर: M_A = 40 kN·m

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।

टेक हटाएँ

टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।

δ_load = wL⁴/(8EI)

टेक पर संगतता

अकेला टेक बल R_B मुक्त सिरे को R_BL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·8/8 = 15 kN

स्थिर सिरे पर आघूर्ण

भारों और टेक बल के A के परितः आघूर्ण।

M_A = wL²/2 − R_B·L = 160 − 120 = 40 kN·m

उत्तर

M_A = 40 kN·m

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 10.01 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2800² = 10011 N = 10.01 kN

उत्तर

P_cr = 10.01 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 83.4 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2.5·105000 = 262500 N

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·262500·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 83.4 mm

उत्तर

d = 83.4 mm

जाँच: तनुता KL/r = 119.9 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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