संरचना विश्लेषण: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
खंड विधि: ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल: धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣF_x = 0 तथा ΣF_y = 0 का उपयोग करें।
खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 4 mP₁ = 55 kN पर 1.5 mP₂ = 40 kN पर 3 m

R_A = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

L = 8 mP = 10 kN पर 2 mw = 6 kN/m, 0 से 3 m तक

R_A = kN

3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

सरल आलंबित बीम A से x = 1.5 m पर दक्षिणावर्त बलयुग्म M₀ = 35 kN·m वहन करता है, और कोई अन्य भार नहीं। बलयुग्म के ठीक बाईं ओर बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 4 mM₀ = 35 kN·m दक्षिणावर्त, स्थान 1.5 m

M_x = kN·m

4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w और एक बिंदु भार P वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 4 mP = 75 kN पर 2 mw = 6 kN/m, 0 से 4 m तक

M_max = kN·m

5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम

इस ट्रस का ठीक एक सदस्य इन भारों के अंतर्गत कोई बल वहन नहीं करता। शून्य-बल सदस्य कौन-सा है? उसे आरेख में क्लिक करें।

B: 30 kN ↓C: 40 kN ↓F: 25 kN ↓G: 35 kN ↓

1सदस्य AB
2सदस्य BC
3सदस्य CD
4सदस्य DE
5सदस्य FG
6सदस्य GH
7सदस्य AF
8सदस्य HE
9सदस्य BF
10सदस्य CG
11सदस्य DH
12सदस्य FC
13सदस्य HC

6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन

जोड़ विधि से अवयव AC में बल F_AC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 6 mऊँचाई = 4 mB, A से 5 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 30 kNक्षैतिज भार = 20 kN →

F_AC = kN

7.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और अपने मुक्त सिरे पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण का उपयोग करके मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

P = 3 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.बीम विक्षेपकठिन

आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 75 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/300 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई h_req ज्ञात कीजिए।

w = 3 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 75 mm

h_req = mm

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 60 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 44.38 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1.5 + 40·3

R_B = 202.5/4 = 50.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 50.63 = 44.38 kN

उत्तर

R_A = 44.38 kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 22.13 kN

मुक्त-पिंड आरेख

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, x̄ = 1.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·2 + 6·3·1.5

R_B = 47/8 = 5.875 kN

ΣF_y = 0: R_A = 28 − 5.875 = 22.13 kN

उत्तर

R_A = 22.13 kN

3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = −13.13 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। लगाया गया बलयुग्म बंकन आघूर्ण आरेख में बलयुग्म के परिमाण जितनी छलाँग पैदा करता है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक: R_B·L − M₀ = 0। ऊर्ध्वाधर संतुलन: R_A + R_B = 0।

R_B = M₀/L = 35/4 = 8.75 kN (ऊपर की ओर)

R_A = −R_B = −8.75 kN (नीचे की ओर)

बलयुग्म के ठीक बाईं ओर काटें

बाएँ भाग में केवल R_A है।

M_x = R_A·a = −8.75·1.5 = −13.13 kN·m

उत्तर

M_x = −13.13 kN·m

4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 87 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, x̄ = 2 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·4 = 75·2 + 6·4·2

R_B = 198/4 = 49.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 99 − 49.5 = 49.5 kN

V = 0 कहाँ है?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 37.5 kN

V(2⁺) = 37.5 − 75 = −37.5 kN

भार पर अपरूपण का चिह्न बदलता है, इसलिए अधिकतम भार के नीचे है।

अधिकतम आघूर्ण

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 49.5·2 − 6·2²/2 = 87 kN·m

उत्तर

M_max = 87 kN·m

यह A से x = 2 m पर होता है।

5.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: सदस्य DH

शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।

संधि D

CD और DE एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल DH बचता है।

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

संधि विधि से जाँचें

सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।

AB: 78.75 kN (T), BC: 78.75 kN (T), CD: 51.25 kN (T), DE: 51.25 kN (T), FG: 102.5 kN (C), GH: 102.5 kN (C), AF: 111.4 kN (C), HE: 72.48 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 33.59 kN (T), HC: 72.48 kN (T)

उत्तर

शून्य-बल सदस्य: DH

6.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_AC = 9.583 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·5 + 20·4 → C_y = 38.33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 38.33 = −8.333 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

जोड़ C

रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −38.33/0.9701 = −39.51 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−39.51)·0.2425 = 9.583 kN

उत्तर

F_AC = 9.583 kN (तनाव)

7.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 5.625 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 3000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(3EI) = 3000·3000³/(3·8.4 × 10¹²) = 3.214 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·3000⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 2.411 mm

जोड़ें

δ = 3.214 + 2.411 = 5.625 mm

उत्तर

δ = 5.625 mm

8.बीम विक्षेप

उत्तर: h_req = 249.5 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·15) = 9.708 × 10⁷ mm⁴

आवश्यक गहराई

bh³/12 = I_req → h = (12·9.708 × 10⁷/75)^1/3 = 249.5 mm

उत्तर

h_req = 249.5 mm

व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 99.66 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2100² = 99663 N = 99.66 kN

उत्तर

P_cr = 99.66 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 14.16 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/7.5 = 373.3

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/373.3² = 14.16 MPa

उत्तर

σ_cr = 14.16 MPa

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