संरचना विश्लेषण: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
एकसमान भार
परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण
M = F·d

विधि

  1. मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
  2. हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
  3. एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
  4. शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣFy = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
खंड विधि
ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल
धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

  1. पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣFx = 0 तथा ΣFy = 0 का उपयोग करें।
  3. खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
  4. तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम
P = 75 kNM = 50 kN·mABRA​ = ?4 m3 m3 m

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। यह A से 4 m पर बिंदु भार P और A से 7 m पर एक दक्षिणावर्त बलयुग्म M वहन करता है। ऊपर की ओर को धनात्मक लेते हुए ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया RA ज्ञात कीजिए।

L = 10 mP = 75 kN पर 4 mM = 50 kN·m (दक्षिणावर्त) पर 7 m
RA = kN
2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन
w0​ = 4 kN/mP = 15 kNABMA​ = ?8 m

कैंटिलीवर बीम A पर दीवार में स्थिर है। यह एक रैखिक रूप से बदलता भार वहन करता है जो दीवार पर 4 kN/m है और मुक्त सिरे B पर शून्य तक घटता है, साथ ही दीवार से 8 m पर एक बिंदु भार P। दीवार पर प्रतिक्रिया आघूर्ण MA का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 8 mw0 = 4 kN/mP = 15 kN पर 8 m
MA = kN·m
3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
10 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

10 kN @ 4 m55 kN @ 10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
6 kN/m40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

40 kN @ 12 m6 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम
ABBCACACB45 kN4 m3 m3 m

जोड़ विधि से अवयव AC में बल FAC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 4 mऊँचाई = 3 mB, A से 3 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 45 kN
FAC = kN
6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन
ABBCACACB55 kN30 kN4 m1 m4 m

जोड़ विधि से अवयव AC में बल FAC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 4 mऊँचाई = 4 mB, A से 1 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 55 kNक्षैतिज भार = 30 kN ←
FAC = kN
7.बीम विक्षेपमध्यम
P = 5 kNABδ2 m2 m

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 2 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे B पर विक्षेप δB ज्ञात कीजिए।

P = 5 kNa = 2 mL = 4 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.बीम विक्षेपकठिन
w = 10 kN/mδL = 2.5 m

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण Ireq ज्ञात कीजिए।

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 4 md = 80 mmअनुप्रस्थ काट

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 80 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
PL = 4 md = 30 mmअनुप्रस्थ काट

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 30 mm
σcr = MPa

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: RA = 40 kN

स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए।

A के परितः आघूर्ण

वामावर्त धनात्मक।

ΣMA = 0: RB·10 − 75·4 − 50 = 0
RB = 350/10 = 35 kN

ऊर्ध्वाधर संतुलन

RA = 75 − 35 = 40 kN

उत्तर

RA = 40 kN

ऋणात्मक प्रतिक्रिया नीचे की ओर कार्य करती है।

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: MA = 162.7 kN·m

कैंटिलीवर संतुलन: स्थिर आलंब ऊपर धकेल सकता है और घूर्णन का प्रतिरोध भी कर सकता है, इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया RA और एक प्रतिक्रिया आघूर्ण MA देता है। ΣFy = 0 से RA मिलता है, और दीवार के परितः आघूर्णों से MA = Σ(भार × दीवार से दूरी)। वितरित भार भार आरेख के केंद्रक पर अपने परिणामी के रूप में कार्य करता है।

त्रिभुजाकार भार का परिणामी

W = ½·4·8 = 16 kN
x̄ = L/3 = 2.667 m

दीवार के परितः आघूर्ण

MA = W·x̄ + P·a = 16·2.667 + 15·8 = 162.7 kN·m

उत्तर

MA = 162.7 kN·m
3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: F (x = 10 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R1 = 15.83 kN, R2 = 49.17 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

MA = 0, MB = 31.67, MC = 63.33, MD = 75, ME = 86.67, MF = 98.33 kN·m, MG = 0

उत्तर

चिह्न F: MF = 98.33 kN·m
4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: E (x = 8 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R1 = 4 kN, R2 = 84 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

MA = 0, MB = −4, MC = −32, MD = −84, ME = −160 kN·m, MF = −80, MG = 0

उत्तर

चिह्न E: ME = −160 kN·m
5.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: FAC = 11.25 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣFx = 0 और ΣFy = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣMA = 0: Cy·4 = 45·3 → Cy = 33.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 33.75 = 11.25 kN

जोड़ C

रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33.75/0.9487 = −35.58 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−35.58)·0.3162 = 11.25 kN

उत्तर

FAC = 11.25 kN (तनाव)
6.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: FAC = −12.19 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣFx = 0 और ΣFy = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

ABBCACACB55 kN30 kNAy​Cy​Ax​

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣMA = 0: Cy·4 = 55·1 − 30·4 → Cy = −16.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − −16.25 = 71.25 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

जोड़ C

रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−16.25/0.8 = 20.31 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(20.31)·0.6 = −12.19 kN

उत्तर

FAC = −12.19 kN (संपीडन)
7.बीम विक्षेप

उत्तर: δB = 18.94 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 5000 N, a = 2000 mm, L = 4000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

मुक्त सिरे पर विक्षेप

भार पर विक्षेप जमा भार पर प्रवणता गुणा शेष लंबाई।

δP = Pa³/(3EI) = 7.576 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.005682 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 18.94 mm

उत्तर

δB = 18.94 mm
8.बीम विक्षेप

उत्तर: Ireq = 3.662 × 10⁶ mm⁴

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

विक्षेप सीमा

δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·2500⁴/(384·200000·6.944) = 3.662 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 3.662 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ireq = 3.662 × 10⁶ mm⁴
9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 86.82 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·4000 = 4000 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86.82 kN

उत्तर

Pcr = 86.82 kN
10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σcr = 9.715 MPa

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7.5 = 266.7

क्रांतिक प्रतिबल

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266.7² = 9.715 MPa

उत्तर

σcr = 9.715 MPa

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