संरचना विश्लेषण: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
खंड विधि: ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल: धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣF_x = 0 तथा ΣF_y = 0 का उपयोग करें।
खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। यह A से 4 m पर बिंदु भार P और A से 1 m पर एक दक्षिणावर्त बलयुग्म M वहन करता है। ऊपर की ओर को धनात्मक लेते हुए ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 8 mP = 70 kN पर 4 mM = 40 kN·m (दक्षिणावर्त) पर 1 m

R_A = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_B ज्ञात कीजिए।

L = 6 mP = 60 kN पर 4.5 mw = 3 kN/m, 2 से 3 m तक

R_B = kN

3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 10 mw = 4 kN/m, 0 से 10 m तकx = 5 m

M_x = kN·m

4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 1.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 6 mP = 15 kN पर 4.5 mw = 4 kN/m, 0 से 6 m तकx = 1.5 m

M_x = kN·m

5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम

इस ट्रस का ठीक एक सदस्य इन भारों के अंतर्गत कोई बल वहन नहीं करता। शून्य-बल सदस्य कौन-सा है? उसे आरेख में क्लिक करें।

B: 15 kN ↓G: 30 kN ↓H: 15 kN ↓

1सदस्य AB
2सदस्य BC
3सदस्य CD
4सदस्य DE
5सदस्य FG
6सदस्य GH
7सदस्य AF
8सदस्य HE
9सदस्य BF
10सदस्य CG
11सदस्य DH
12सदस्य FC
13सदस्य HC

6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन

जोड़ विधि से अवयव AC में बल F_AC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 6 mऊँचाई = 4 mB, A से 2 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 40 kNक्षैतिज भार = 25 kN →

F_AC = kN

7.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण I_req ज्ञात कीजिए।

w = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (स्टील)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2.5 के सुरक्षा गुणक के साथ 15 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 15 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (स्टील)

d = mm

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 30 kN

स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए।

A के परितः आघूर्ण

वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: R_B·8 − 70·4 − 40 = 0

R_B = 320/8 = 40 kN

ऊर्ध्वाधर संतुलन

R_A = 70 − 40 = 30 kN

उत्तर

R_A = 30 kN

ऋणात्मक प्रतिक्रिया नीचे की ओर कार्य करती है।

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_B = 46.25 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·4.5 + 3·1·2.5

R_B = 277.5/6 = 46.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 46.25 = 16.75 kN

उत्तर

R_B = 46.25 kN

3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 50 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

x = 5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 20·5 − 4·5·2.5 = 50 kN·m

उत्तर

M_x = 50 kN·m

4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 19.13 kN·m

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·4.5 + 4·6·3

R_B = 139.5/6 = 23.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 23.25 = 15.75 kN

x = 1.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 15.75·1.5 − 4·1.5·0.75 = 19.13 kN·m

उत्तर

M_x = 19.13 kN·m

5.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: सदस्य DH

शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।

संधि D

CD और DE एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल DH बचता है।

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

संधि विधि से जाँचें

सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।

AB: 30 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 42.43 kN (C), HE: 42.43 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 21.21 kN (T), HC: 21.21 kN (T)

उत्तर

शून्य-बल सदस्य: DH

6.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_AC = 30 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·2 + 25·4 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 30 = 10 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

जोड़ C

रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।

sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0.7071 = −42.43 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−42.43)·0.7071 = 30 kN

उत्तर

F_AC = 30 kN (तनाव)

7.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 39.16 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 2 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

विक्षेप

δ = wL⁴/(8EI) = 2·5000⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 39.16 mm

उत्तर

δ = 39.16 mm

8.बीम विक्षेप

उत्तर: I_req = 1.5 × 10⁶ mm⁴

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·2000⁴/(384·200000·5.556) = 1.5 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1.5 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_req = 1.5 × 10⁶ mm⁴

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 7.106 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·5000 = 5000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/5000² = 7106 N = 7.106 kN

उत्तर

P_cr = 7.106 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 86.4 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2.5·15000 = 37500 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 86.4 mm

उत्तर

d = 86.4 mm

जाँच: तनुता KL/r = 555.5 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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