संरचना विश्लेषण: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
एकसमान भार
परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण
M = F·d

विधि

  1. मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
  2. हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
  3. एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
  4. शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣFy = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
खंड विधि
ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल
धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

  1. पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣFx = 0 तथा ΣFy = 0 का उपयोग करें।
  3. खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
  4. तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम
P1​ = 15 kNP2​ = 25 kNABRA​ = ?RB​5 m2 m1 m

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया RA ज्ञात कीजिए।

L = 8 mP1 = 15 kN पर 5 mP2 = 25 kN पर 7 m
RA = kN
2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन
w = 12 kN/mP = 35 kNQ = 40 kNADCMA​ = ?3 m1 m1 m3 m

एक संयुक्त बीम A पर दीवार में स्थिर है, C पर (A से 4 m) एक आंतरिक कब्ज़ा (हिंज) है और D पर (A से 8 m) रोलर पर टिका है। यह A से 5 m पर बिंदु भार P, पूरे भाग CD पर समान वितरित भार w और A से 3 m पर बिंदु भार Q वहन करता है। दीवार पर प्रतिक्रिया आघूर्ण MA का परिमाण ज्ञात कीजिए।

AC = 4 mAD = 8 mP = 35 kN पर 5 mw = 12 kN/m, 4 से 8 m तकQ = 40 kN पर 3 m
MA = kN·m
3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
5 kN/m60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

60 kN @ 8 m5 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
4 kN/m15 kN60 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

15 kN @ 0 m60 kN @ 6 m25 kN @ 3 m4 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम
ABBCACACB15 kN8 m3 m3 m

जोड़ विधि से अवयव AB में बल FAB ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 8 mऊँचाई = 3 mB, A से 3 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 15 kN
FAB = kN
6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन
ABBCACACB55 kN15 kN5 m1 m2 m

जोड़ विधि से अवयव BC में बल FBC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 5 mऊँचाई = 2 mB, A से 1 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 55 kNक्षैतिज भार = 15 kN →
FBC = kN
7.बीम विक्षेपमध्यम
w = 5 kN/mδL = 3 m

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.बीम विक्षेपकठिन
w = 8 kN/mδL = 5 m

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण Ireq ज्ञात कीजिए।

w = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 4 md = 30 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)d = 30 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
PL = 2.5 md = 40 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 40 mm
σcr = MPa

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: RA = 8.75 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

P1​ = 15 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​5 m2 m1 m

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣMA = 0: RB·8 = 15·5 + 25·7
RB = 250/8 = 31.25 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 31.25 = 8.75 kN

उत्तर

RA = 8.75 kN
2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: MA = 321 kN·m

स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए। आंतरिक कब्ज़ा बंकन आघूर्ण वहन नहीं कर सकता, जिससे एक अतिरिक्त समीकरण मिलता है: किसी भी ओर के बलों का कब्ज़े के परितः आघूर्ण शून्य है।

भाग CD

कब्ज़े पर कोई आघूर्ण नहीं है, इसलिए केवल CD पर C के परितः आघूर्ण संतुलित होने चाहिए।

W = 12·4 = 48 kN पर 2 m से C
ΣMC = 0: RD·4 = 35·1 + 48·2
RD = 32.75 kN
VC = 83 − 32.75 = 50.25 kN

भाग AC

कब्ज़ा बल VC, AC पर नीचे की ओर कार्य करता है (CD पर उसकी क्रिया के बराबर और विपरीत)।

RA = 40 + 50.25 = 90.25 kN
MA = 40·3 + 50.25·4 = 321 kN·m

उत्तर

MA = 321 kN·m
3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: E (x = 8 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R1 = 50 kN, R2 = 70 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

MA = 0, MB = 90, MC = 160, MD = 210, ME = 240 kN·m, MF = 130, MG = 0

उत्तर

चिह्न E: ME = 240 kN·m
4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: F (x = 5 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R1 = 24.25 kN, R2 = 91.75 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

MA = 0, MB = −15, MC = −7.75, MD = −4.5, ME = −30.25, MF = −60 kN·m, MG = 0

उत्तर

चिह्न F: MF = −60 kN·m
5.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: FAB = −13.26 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣFx = 0 और ΣFy = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·3 → Cy = 5.625 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 5.625 = 9.375 kN

जोड़ A

मानें कि हर अवयव तनाव में है (जोड़ से दूर खींचता है)। A पर केवल AB का ऊर्ध्वाधर घटक है।

sin α = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −9.375/0.7071 = −13.26 kN

उत्तर

FAB = −13.26 kN (संपीडन)
6.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: FBC = −38.01 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣFx = 0 और ΣFy = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

ABBCACACB55 kN15 kNAy​Cy​Ax​

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣMA = 0: Cy·5 = 55·1 + 15·2 → Cy = 17 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 17 = 38 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

जोड़ C

रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −17/0.4472 = −38.01 kN

उत्तर

FBC = −38.01 kN (संपीडन)
7.बीम विक्षेप

उत्तर: δmax = 8.411 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

विक्षेप

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 8.411 mm

उत्तर

δmax = 8.411 mm
8.बीम विक्षेप

उत्तर: Ireq = 66.96 × 10⁶ mm⁴

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

विक्षेप सीमा

δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·5000⁴/(384·70000·13.89) = 6.696 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 66.96 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ireq = 66.96 × 10⁶ mm⁴
9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 10.01 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2800² = 10011 N = 10.01 kN

उत्तर

Pcr = 10.01 kN
10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σcr = 31.58 MPa

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/10 = 250

क्रांतिक प्रतिबल

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31.58 MPa

उत्तर

σcr = 31.58 MPa

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