संरचना विश्लेषण: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
एकसमान भार
परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण
M = F·d

विधि

  1. मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
  2. हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
  3. एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
  4. शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣFy = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
खंड विधि
ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल
धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

  1. पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣFx = 0 तथा ΣFy = 0 का उपयोग करें।
  3. खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
  4. तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम
P1​ = 55 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?1.5 m1 m1.5 m

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया RB ज्ञात कीजिए।

L = 4 mP1 = 55 kN पर 1.5 mP2 = 45 kN पर 2.5 m
RB = kN
2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन
w0​ = 8 kN/mP = 20 kNABMA​ = ?4 m1 m

कैंटिलीवर बीम A पर दीवार में स्थिर है। यह एक रैखिक रूप से बदलता भार वहन करता है जो दीवार पर 8 kN/m है और मुक्त सिरे B पर शून्य तक घटता है, साथ ही दीवार से 4 m पर एक बिंदु भार P। दीवार पर प्रतिक्रिया आघूर्ण MA का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 5 mw0 = 8 kN/mP = 20 kN पर 4 m
MA = kN·m
3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
P1​ = 40 kNP2​ = 30 kNAB2 m4 m2 m

सरल आलंबित बीम दो बिंदु भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।

L = 8 mP1 = 40 kN पर 2 mP2 = 30 kN पर 6 m
Mmax = kN·m
4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
w = 3 kN/mP = 10 kNABखंड2 m2 m

आलंब A से x = 2 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 4 mP = 10 kN पर 2 mw = 3 kN/m, 0 से 4 m तकx = 2 m
Mx = kN·m
5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम
ABBCACACB45 kN6 m4 m3 m

जोड़ विधि से अवयव BC में बल FBC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 6 mऊँचाई = 3 mB, A से 4 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 45 kN
FBC = kN
6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन
ABBCACACB15 kN10 kN4 m1 m2 m

जोड़ विधि से अवयव AB में बल FAB ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 4 mऊँचाई = 2 mB, A से 1 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 15 kNक्षैतिज भार = 10 kN ←
FAB = kN
7.बीम विक्षेपमध्यम
P = 21 kNABδ1 m1 m

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 1 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δP ज्ञात कीजिए।

P = 21 kNa = 1 mL = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.बीम विक्षेपकठिन
P = 50 kNAB2.5 m2.5 m

एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह मध्य-विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। EI स्थिर है। स्थिर सिरे पर बंकन आघूर्ण MA का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 5 mP = 50 kN पर 2.5 m
MA = kN·m
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 2 md = 30 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)d = 30 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
P = 115 kNL = 2.5 md = ?अनुप्रस्थ काट

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 115 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 115 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
d = mm

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: RB = 48.75 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

P1​ = 55 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​1.5 m1 m1.5 m

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣMA = 0: RB·4 = 55·1.5 + 45·2.5
RB = 195/4 = 48.75 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 48.75 = 51.25 kN

उत्तर

RB = 48.75 kN
2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: MA = 113.3 kN·m

कैंटिलीवर संतुलन: स्थिर आलंब ऊपर धकेल सकता है और घूर्णन का प्रतिरोध भी कर सकता है, इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया RA और एक प्रतिक्रिया आघूर्ण MA देता है। ΣFy = 0 से RA मिलता है, और दीवार के परितः आघूर्णों से MA = Σ(भार × दीवार से दूरी)। वितरित भार भार आरेख के केंद्रक पर अपने परिणामी के रूप में कार्य करता है।

त्रिभुजाकार भार का परिणामी

W = ½·8·5 = 20 kN
x̄ = L/3 = 1.667 m

दीवार के परितः आघूर्ण

MA = W·x̄ + P·a = 20·1.667 + 20·4 = 113.3 kN·m

उत्तर

MA = 113.3 kN·m
3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mmax = 75 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

ΣMA = 0: RB·8 = 40·2 + 30·6
RB = 260/8 = 32.5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 32.5 = 37.5 kN

हर भार के नीचे आघूर्ण

हर भार के बाईं ओर का भाग रखें।

भार P1: M = RA·2 = 37.5·2 = 75 kN·m
भार P2: M = RB·2 = 32.5·2 = 65 kN·m

सबसे बड़ा मान

Mmax = 75 kN·m (भार P1)

उत्तर

Mmax = 75 kN·m
4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = 16 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·4 = 10·2 + 3·4·2
RB = 44/4 = 11 kN
ΣFy = 0: RA = 22 − 11 = 11 kN
w = 3 kN/mP = 10 kNABRA​ = 11RB​ = 11खंड2 m2 m

x = 2 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 11·2 − 3·2·1 = 16 kN·m

उत्तर

Mx = 16 kN·m
5.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: FBC = −36.06 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣFx = 0 और ΣFy = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·4 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 30 = 15 kN

जोड़ C

रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0.8321 = −36.06 kN

उत्तर

FBC = −36.06 kN (संपीडन)
6.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: FAB = −18.17 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣFx = 0 और ΣFy = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

ABBCACACB15 kN10 kNAy​Cy​Ax​

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·1 − 10·2 → Cy = −1.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −1.25 = 16.25 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

जोड़ A

मानें कि हर अवयव तनाव में है (जोड़ से दूर खींचता है)। A पर केवल AB का ऊर्ध्वाधर घटक है।

sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −16.25/0.8944 = −18.17 kN

उत्तर

FAB = −18.17 kN (संपीडन)
7.बीम विक्षेप

उत्तर: δP = 2.778 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 21000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

भार के नीचे विक्षेप

δP = Pa³/(3EI) = 21000·1000³/(3·2.52 × 10¹²) = 2.778 mm

उत्तर

δP = 2.778 mm
8.बीम विक्षेप

उत्तर: MA = 46.88 kN·m

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।

टेक हटाएँ

टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

टेक पर संगतता

अकेला टेक बल RB मुक्त सिरे को RBL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·50/16 = 15.63 kN

स्थिर सिरे पर आघूर्ण

भारों और टेक बल के A के परितः आघूर्ण।

MA = P·L/2 − RB·L = 125 − 78.13 = 46.88 kN·m

उत्तर

MA = 46.88 kN·m
9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 40.04 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1400² = 40043 N = 40.04 kN

उत्तर

Pcr = 40.04 kN
10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 80.69 mm

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

आवश्यक क्रांतिक भार

Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 80.69 mm

उत्तर

d = 80.69 mm

जाँच: तनुता KL/r = 123.9 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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