संरचना विश्लेषण: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
एकसमान भार
परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण
M = F·d

विधि

  1. मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
  2. हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
  3. एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
  4. शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣFy = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
खंड विधि
ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल
धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

  1. पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣFx = 0 तथा ΣFy = 0 का उपयोग करें।
  3. खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
  4. तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम
P1​ = 10 kNP2​ = 35 kNABRA​ = ?RB​6 m1 m3 m

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया RA ज्ञात कीजिए।

L = 10 mP1 = 10 kN पर 6 mP2 = 35 kN पर 7 m
RA = kN
2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन
w = 4 kN/mP = 10 kNABRA​RB​ = ?2 m1.5 m2.5 m

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया RB ज्ञात कीजिए।

L = 6 mP = 10 kN पर 3.5 mw = 4 kN/m, 0 से 2 m तक
RB = kN
3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
M0​ = 25 kN·mAB6 m2 m

सरल आलंबित बीम A से x = 6 m पर दक्षिणावर्त बलयुग्म M0 = 25 kN·m वहन करता है, और कोई अन्य भार नहीं। बलयुग्म के ठीक बाईं ओर बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 8 mM0 = 25 kN·m दक्षिणावर्त, स्थान 6 m
Mx = kN·m
4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
w = 8 kN/mP = 50 kNABखंड8 m1.5 m0.5 m

आलंब A से x = 9.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 10 mP = 50 kN पर 8 mw = 8 kN/m, 0 से 10 m तकx = 9.5 m
Mx = kN·m
5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम
ABBCACACB55 kN8 m1 m4 m

जोड़ विधि से अवयव AC में बल FAC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 8 mऊँचाई = 4 mB, A से 1 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 55 kN
FAC = kN
6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन
ABBCACACB40 kN15 kN8 m2 m4 m

जोड़ विधि से अवयव AC में बल FAC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 8 mऊँचाई = 4 mB, A से 2 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 40 kNक्षैतिज भार = 15 kN →
FAC = kN
7.बीम विक्षेपमध्यम
P = 29 kNABδ0.5 m1.5 m

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 0.5 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे B पर विक्षेप δB ज्ञात कीजिए।

P = 29 kNa = 0.5 mL = 2 mE = 200 GPa (स्टील)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.बीम विक्षेपकठिन
w = 3 kN/mABδ3 m

आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 125 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/250 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई hreq ज्ञात कीजिए।

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 125 mm
hreq = mm
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 3 m20 × 100 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
P = 130 kNL = 5 md = ?अनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2.5 के सुरक्षा गुणक के साथ 130 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 130 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: RA = 14.5 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

P1​ = 10 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​6 m1 m3 m

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣMA = 0: RB·10 = 10·6 + 35·7
RB = 305/10 = 30.5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 30.5 = 14.5 kN

उत्तर

RA = 14.5 kN
2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: RB = 7.167 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

w = 4 kN/mP = 10 kNABRA​RB​2 m1.5 m2.5 m

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, x̄ = 1 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·6 = 10·3.5 + 4·2·1
RB = 43/6 = 7.167 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 7.167 = 10.83 kN

उत्तर

RB = 7.167 kN
3.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = −18.75 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। लगाया गया बलयुग्म बंकन आघूर्ण आरेख में बलयुग्म के परिमाण जितनी छलाँग पैदा करता है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक: RB·L − M0 = 0। ऊर्ध्वाधर संतुलन: RA + RB = 0।

RB = M0/L = 25/8 = 3.125 kN (ऊपर की ओर)
RA = −RB = −3.125 kN (नीचे की ओर)

बलयुग्म के ठीक बाईं ओर काटें

बाएँ भाग में केवल RA है।

Mx = RA·a = −3.125·6 = −18.75 kN·m

उत्तर

Mx = −18.75 kN·m
4.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = 39 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·10 = 50·8 + 8·10·5
RB = 800/10 = 80 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 80 = 50 kN
w = 8 kN/mP = 50 kNABRA​ = 50RB​ = 80खंड8 m1.5 m0.5 m

x = 9.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 50·9.5 − 50·(9.5 − 8) − 8·9.5·4.75 = 39 kN·m

उत्तर

Mx = 39 kN·m
5.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: FAC = 12.03 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣFx = 0 और ΣFy = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣMA = 0: Cy·8 = 55·1 → Cy = 6.875 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 6.875 = 48.13 kN

जोड़ C

रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।

sin γ = 4/8.062 = 0.4961, cos γ = 7/8.062 = 0.8682
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6.875/0.4961 = −13.86 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−13.86)·0.8682 = 12.03 kN

उत्तर

FAC = 12.03 kN (तनाव)
6.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: FAC = 26.25 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣFx = 0 और ΣFy = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

ABBCACACB40 kN15 kNAy​Cy​Ax​

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣMA = 0: Cy·8 = 40·2 + 15·4 → Cy = 17.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 17.5 = 22.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

जोड़ C

रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।

sin γ = 4/7.211 = 0.5547, cos γ = 6/7.211 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −17.5/0.5547 = −31.55 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−31.55)·0.8321 = 26.25 kN

उत्तर

FAC = 26.25 kN (तनाव)
7.बीम विक्षेप

उत्तर: δB = 1.445 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 29000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

मुक्त सिरे पर विक्षेप

भार पर विक्षेप जमा भार पर प्रवणता गुणा शेष लंबाई।

δP = Pa³/(3EI) = 0.2627 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.000788 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1.445 mm

उत्तर

δB = 1.445 mm
8.बीम विक्षेप

उत्तर: hreq = 132 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

विक्षेप सीमा

δallow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·12) = 2.397 × 10⁷ mm⁴

आवश्यक गहराई

bh³/12 = Ireq → h = (12·2.397 × 10⁷/125)1/3 = 132 mm

उत्तर

hreq = 132 mm

व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 29.84 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/2100² = 29840 N = 29.84 kN

उत्तर

Pcr = 29.84 kN
10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 95.69 mm

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

आवश्यक क्रांतिक भार

Pcr = n·P = 2.5·130000 = 325000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 95.69 mm

उत्तर

d = 95.69 mm

जाँच: तनुता KL/r = 209 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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