ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा: Q = ṁ·c_p·ΔT
गुप्त ऊष्मा: Q = ṁ·h_fg
मिश्रण: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
पानी: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम

10 L की टंकी में 75 °C पर CH₄ का 210 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 210 gM = 16.04 g/molV = 10 LT = 75 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.आदर्श गैस नियमकठिन

300 kPa और 200 °C पर CH₄ का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 16.04 g/molP = 300 kPaT = 200 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.ऊर्जा संतुलनमध्यम

गर्म हल्का तेल बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान t_out ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 130 °Cṁ_c = 1.5 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.ऊर्जा संतुलनकठिन

गर्म हल्का तेल एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 10% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁ_c ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 90 °Ct: 10 → 25 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 600 °C पर गर्म भंडार और 15 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। यह 4100 kJ ऊष्मा लेता है। यह अधिकतम कितना कार्य W_max उत्पन्न कर सकता है, ज्ञात कीजिए।

T_H = 600 °CT_L = 15 °CQ_H = 4100 kJ

W_max = kJ

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक कार्नो ऊष्मा इंजन 550 °C वाले स्रोत से 10 kW ऊष्मा लेता है और 25 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसका सारा कार्य एक कार्नो रेफ़्रिजरेटर चलाता है जो -5 °C वाले फ़्रीज़र से ऊष्मा निकालता है और वह भी 25 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_L ज्ञात कीजिए जिस पर फ़्रीज़र से ऊष्मा निकाली जाती है।

T_H = 550 °CT₀ = 25 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 10 kW

Q̇_L = kW

7.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 17 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 1.5 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 320 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु दी गई ऊष्मा q_in kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r = 17r_c = 1.5T₁ = 320 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक आदर्श ब्रेटन चक्र 20 के संपीडक दाब अनुपात पर चलता है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r_p = 20k = 1.4

η = %

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 3790 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 210/16.04 = 13.09 mol

T = 75 + 273.15 = 348.1 K

दाब

P = nRT/V = 13.09·8.314·348.1/0.01 = 3790 kPa

उत्तर

P = 3790 kPa

2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 1.223 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 200 + 273.15 = 473.1 K

घनत्व

ρ = 300·16.04/(8.314·473.1) = 1.223 kg/m³

उत्तर

ρ = 1.223 kg/m³

3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: t_out = 50.19 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 3·2.1·(170 − 130) = 252 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 252/(1.5·4.18) = 50.19 °C

उत्तर

t_out = 50.19 °C

4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁ_c = 5.426 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Q_h = 3·2.1·(150 − 90) = 378 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Q_c = (1 − 0.1)·378 = 340.2 kW

पानी प्रवाह दर

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 340.2/(4.18·15) = 5.426 kg/s

उत्तर

ṁ_c = 5.426 kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: W_max = 2747 kJ

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/873.1 = 67 %

अधिकतम कार्य

W_max = η_max·Q_H = 0.67·4100 = 2747 kJ

उत्तर

W_max = 2747 kJ

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_L = 57.01 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T₀ = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

इंजन का कार्य

η = 1 − 298.1/823.1 = 0.6378

Ẇ = 0.6378·10 = 6.378 kW

रेफ़्रिजरेटर द्वारा निकाली गई ऊष्मा

COP_R = 268.1/(298.1 − 268.1) = 8.938

Q̇_L = 8.938·6.378 = 57.01 kW

उत्तर

Q̇_L = 57.01 kW

7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: q_in = 499.4 kJ/kg

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

तापमान

T₂ = 320·17^0.4 = 993.9 K

T₃ = 1.5·993.9 = 1491 K

नियत दाब पर दी गई ऊष्मा

q_in = 1.005·(1491 − 993.9) = 499.4 kJ/kg

उत्तर

q_in = 499.4 kJ/kg

8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 57.51 %

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

तापीय दक्षता

η = 1 − 1/20^0.2857 = 1 − 1/2.354 = 57.51%

उत्तर

η = 57.51%

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