ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम
pV = nRT
गैस नियतांक
R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम
p1V1/T1 = p2V2/T2
मोल
n = m/M
तापमान
T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा
Q = ṁ·cp·ΔT
गुप्त ऊष्मा
Q = ṁ·hfg
मिश्रण
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
पानी
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता
η = W/QH = 1 − QC/QH
कार्नो दक्षता
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP
COPR = QC/W
हीट पंप का COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
ऊर्जा संतुलन
QH = W + QC

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात
T2/T1 = rk−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात
T2/T1 = rp(k−1)/k
ऑटो दक्षता
η = 1 − 1/rk−1
डीज़ल दक्षता
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
ब्रेटन दक्षता
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
दी गई ऊष्मा
ऑटो: cv(T3 − T2) डीज़ल, ब्रेटन: cp(T3 − T2)
ब्रेटन शुद्ध कार्य
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
ठंडी वायु
k = 1.4, cp = 1.005, cv = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम
O₂ का 310 gV = 5 LT = 45 °CP = ?

5 L की टंकी में 45 °C पर O₂ का 310 g है। इसे आदर्श गैस मानकर दाब P ज्ञात कीजिए।

m = 310 gM = 32 g/molV = 5 LT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
2.आदर्श गैस नियमकठिन
अवस्था 1अवस्था 2

N₂ की एक निश्चित मात्रा 100 kPa, 2 L, 10 °C से 550 kPa और 90 °C पर जाती है। नया आयतन V2 ज्ञात कीजिए।

P1 = 100 kPaV1 = 2 LT1 = 10 °CP2 = 550 kPaT2 = 90 °C
V2 = L
3.ऊर्जा संतुलनमध्यम
गर्म पक्षठंडा पक्षएथेनॉल · 170 °C130 °Cपानी · 30 °Ct = ? °C

गर्म एथेनॉल बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान tout ज्ञात कीजिए।

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 170 → 130 °Cṁc = 0.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.ऊर्जा संतुलनकठिन
गर्म पक्षठंडा पक्षहल्का तेल · 170 °C70 °Cपानी · 20 °C70 °C · ṁ = ?15% हानि

गर्म हल्का तेल एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 15% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁc ज्ञात कीजिए।

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 170 → 70 °Ct: 20 → 70 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 15 %
ṁc = kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम
TH​ = 350 °CTL​ = 15 °CEQH​ = 700 kJQL​W = ?

एक ऊष्मा इंजन 350 °C पर गर्म भंडार और 15 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। यह 700 kJ ऊष्मा लेता है। यह अधिकतम कितना कार्य Wmax उत्पन्न कर सकता है, ज्ञात कीजिए।

TH = 350 °CTL = 15 °CQH = 700 kJ
Wmax = kJ
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन
TH​ = 30 °CTL​ = -18 °CRQ̇H​Q̇L​ = 1 kWẆ

एक रेफ़्रिजरेटर 30 °C वाली रसोई में अपने ठंडे भाग को -18 °C पर रखता है, ठंडे भाग से 1 kW ऊष्मा निकालते हुए। अधिकतम संभव निष्पादन गुणांक COPmax ज्ञात कीजिए।

TH = 30 °CTL = -18 °CQ̇L = 1 kW
COPmax =
7.गैस शक्ति चक्रमध्यम
vP1234qin​qout​

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 20 और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ = 2.2 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 295 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु दी गई ऊष्मा qin kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r = 20rc = 2.2T1 = 295 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.गैस शक्ति चक्रकठिन
vP1234qin​qout​

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 12 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 290 K पर संपीडक में और 1100 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। दोनों मशीनें समएन्ट्रॉपिक हैं। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) और cv = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत wnet kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

rp = 12T1 = 290 KT3 = 1100 Kk = 1.4cp = 1.005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: P = 5125 kPa

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = m/M = 310/32 = 9.688 mol
T = 45 + 273.15 = 318.1 K

दाब

P = nRT/V = 9.688·8.314·318.1/0.005 = 5125 kPa

उत्तर

P = 5125 kPa
2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V2 = 0.4664 L

संयुक्त गैस नियम: आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए P1V1/T1 = P2V2/T2।

परम तापमान

T1 = 283.1 K, T2 = 363.1 K

संयुक्त गैस नियम

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(100/550)·(363.1/283.1) = 0.4664 L

उत्तर

V2 = 0.4664 L
3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: tout = 100 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 1.5·2.44·(170 − 130) = 146.4 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 146.4/(0.5·4.18) = 100 °C

उत्तर

tout = 100 °C
4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁc = 0.427 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Qh = 0.5·2.1·(170 − 70) = 105 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Qc = (1 − 0.15)·105 = 89.25 kW

पानी प्रवाह दर

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 89.25/(4.18·50) = 0.427 kg/s

उत्तर

ṁc = 0.427 kg/s
5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Wmax = 376.3 kJ

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान TH और TL वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) और COPHP,max = TH/(TH − TL)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: QH = W + QL।

परम तापमान

TH = 350 + 273.15 = 623.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

कार्नो दक्षता

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 288.1/623.1 = 53.76 %

अधिकतम कार्य

Wmax = ηmax·QH = 0.5376·700 = 376.3 kJ

उत्तर

Wmax = 376.3 kJ
6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: COPmax = 5.316

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान TH और TL वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) और COPHP,max = TH/(TH − TL)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: QH = W + QL।

परम तापमान

TH = 30 + 273.15 = 303.1 K
TL = -18 + 273.15 = 255.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 255.1/(303.1 − 255.1) = 5.316

उत्तर

COPmax = 5.316
7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: qin = 1179 kJ/kg

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात rc = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))।

तापमान

T2 = 295·200.4 = 977.8 K
T3 = 2.2·977.8 = 2151 K

नियत दाब पर दी गई ऊष्मा

qin = 1.005·(2151 − 977.8) = 1179 kJ/kg

उत्तर

qin = 1179 kJ/kg
8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: wnet = 260.6 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात rp = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k और η = 1 − 1/rp(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को ws/ηc चाहिए और टरबाइन ηt·ws देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T2 = 290·120.2857 = 589.8 K
T4 = 1100/120.2857 = 540.8 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

wc = 1.005·(589.8 − 290) = 301.3 kJ/kg
wt = 1.005·(1100 − 540.8) = 562 kJ/kg

शुद्ध कार्य

wnet = 562 − 301.3 = 260.6 kJ/kg

उत्तर

wnet = 260.6 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: wc/wt = 53.62%।

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