ऊष्मागतिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस नियम: pV = nRT
गैस नियतांक: R = 8.314 J/(mol·K)
संयुक्त गैस नियम: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
मोल: n = m/M
तापमान: T[K] = T[°C] + 273.15

ऊर्जा संतुलन

संवेद्य ऊष्मा: Q = ṁ·c_p·ΔT
गुप्त ऊष्मा: Q = ṁ·h_fg
मिश्रण: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
पानी: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2अभ्यास प्रश्न

1.आदर्श गैस नियममध्यम

750 kPa और 95 °C पर Ar का 150 g कितना आयतन V घेरता है? इसे आदर्श गैस मानें।

m = 150 gM = 39.95 g/molP = 750 kPaT = 95 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

2.आदर्श गैस नियमकठिन

900 kPa और 150 °C पर He का घनत्व ρ आदर्श गैस मानकर ज्ञात कीजिए।

M = 4.003 g/molP = 900 kPaT = 150 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.ऊर्जा संतुलनमध्यम

गर्म ग्लाइकॉल मिश्रण बिना ऊष्मा हानि वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा विनिमयक में पानी को ठंडा करता है। पानी का निर्गम तापमान t_out ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 70 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.ऊर्जा संतुलनकठिन

गर्म एथेनॉल एक विनिमयक में पानी को गर्म करता है जो गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा का 10% परिवेश में खो देता है। आवश्यक पानी प्रवाह दर ṁ_c ज्ञात कीजिए।

ṁ_h = 1.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 70 °Ct: 10 → 40 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)हानि = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 425 °C पर गर्म भंडार और 25 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। यह 900 kJ ऊष्मा लेता है। यह अधिकतम कितना कार्य W_max उत्पन्न कर सकता है, ज्ञात कीजिए।

T_H = 425 °CT_L = 25 °CQ_H = 900 kJ

W_max = kJ

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा इंजन प्रति चक्र 600 °C वाले भंडार से 3800 kJ ऊष्मा लेता है, 1254 kJ कार्य उत्पन्न करता है और शेष को 15 °C वाले भंडार को त्यागता है। प्रति चक्र उत्पन्न कुल एन्ट्रॉपी S_gen ज्ञात कीजिए।

T_H = 600 °CT_L = 15 °CQ_H = 3800 kJW = 1254 kJ

S_gen = kJ/K

7.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 18 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 2 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 295 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। ऊष्मा योग के अंत में तापमान T₃ K में ज्ञात कीजिए।

r = 18r_c = 2T₁ = 295 Kk = 1.4

T₃ = K

8.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 10 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 300 K पर संपीडक में और 1200 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। दोनों मशीनें समएन्ट्रॉपिक हैं। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 10T₁ = 300 KT₃ = 1200 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3विलयन

1.आदर्श गैस नियम

उत्तर: V = 15.32 L

आदर्श गैस नियम: PV = nRT, n = m/M के साथ।

मोल

n = 150/39.95 = 3.755 mol

T = 95 + 273.15 = 368.1 K

आयतन

V = nRT/P = 3.755·8.314·368.1/750 = 15.32 L

उत्तर

V = 15.32 L

2.आदर्श गैस नियम

उत्तर: ρ = 1.024 kg/m³

आदर्श गैस घनत्व: ρ = PM/(RT)।

गैस नियम पुनर्व्यवस्थित करें

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 150 + 273.15 = 423.1 K

घनत्व

ρ = 900·4.003/(8.314·423.1) = 1.024 kg/m³

उत्तर

ρ = 1.024 kg/m³

3.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: t_out = 60.14 °C

विनिमयक ऊर्जा संतुलन: बिना हानि के ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in)।

गर्म धारा द्वारा छोड़ी गई ऊष्मा

Q = 1·3.6·(140 − 70) = 252 kW

पानी द्वारा ली गई ऊष्मा

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 252/(2·4.18) = 60.14 °C

उत्तर

t_out = 60.14 °C

4.ऊर्जा संतुलन

उत्तर: ṁ_c = 1.839 kg/s

हानि सहित ऊर्जा संतुलन: छोड़ी गई ऊष्मा = अवशोषित ऊष्मा + खोई ऊष्मा।

छोड़ी गई ऊष्मा

Q_h = 1.5·2.44·(140 − 70) = 256.2 kW

पानी तक पहुँचने वाली ऊष्मा

Q_c = (1 − 0.1)·256.2 = 230.6 kW

पानी प्रवाह दर

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 230.6/(4.18·30) = 1.839 kg/s

उत्तर

ṁ_c = 1.839 kg/s

5.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: W_max = 515.6 kJ

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 425 + 273.15 = 698.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/698.1 = 57.29 %

अधिकतम कार्य

W_max = η_max·Q_H = 0.5729·900 = 515.6 kJ

उत्तर

W_max = 515.6 kJ

6.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: S_gen = 4.484 kJ/K

एन्ट्रॉपी उत्पादन: पूरे चक्र में कार्यकारी तरल का कोई नेट एन्ट्रॉपी परिवर्तन नहीं होता। गर्म भंडार Q_H/T_H खोता है और ठंडा भंडार Q_L/T_L पाता है। इनका योग उत्पन्न एन्ट्रॉपी है, जो उत्क्रमणीय चक्र के लिए शून्य और हर वास्तविक चक्र के लिए धनात्मक है।

त्यागी गई ऊष्मा

Q_L = Q_H − W = 3800 − 1254 = 2546 kJ

परम तापमान

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

भंडारों के एन्ट्रॉपी परिवर्तन

ΔS_H = −3800/873.1 = −4.352 kJ/K

ΔS_L = 2546/288.1 = 8.836 kJ/K

S_gen = 8.836 − 4.352 = 4.484 kJ/K

उत्तर

S_gen = 4.484 kJ/K

S_gen > 0, इसलिए इंजन संभव है पर अनुत्क्रमणीय है।

7.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: T₃ = 1875 K

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

संपीडन का अंत

T₂ = 295·18^0.4 = 937.4 K

नियत दाब पर ऊष्मा का योग

T₃ = r_c·T₂ = 2·937.4 = 1875 K

उत्तर

T₃ = 1875 K

8.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 300.7 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T₂ = 300·10^0.2857 = 579.2 K

T₄ = 1200/10^0.2857 = 621.5 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(579.2 − 300) = 280.6 kJ/kg

w_t = 1.005·(1200 − 621.5) = 581.4 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 581.4 − 280.6 = 300.7 kJ/kg

उत्तर

w_net = 300.7 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 48.27%।

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